Помогите, пожалуйста, решить уравнение: sin^6(a) - cos^6(a) - 3/4 * cos^2(a) + 3/4 * sin^2(a)?

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения уравнение sin cos математика 9 класс решение уравнения Тригонометрия алгебра математические задачи Новый

Давайте решим уравнение: sin^6(a) - cos^6(a) - 3/4 * cos^2(a) + 3/4 * sin^2(a) шаг за шагом.

Первым делом, заметим, что выражение sin^6(a) - cos^6(a) можно преобразовать. Это выражение является разностью кубов. Мы можем использовать формулу разности кубов:

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

В нашем случае:

• x = sin^2(a)
• y = cos^2(a)

Таким образом, мы имеем:

sin^6(a) - cos^6(a) = (sin^2(a) - cos^2(a))(sin^4(a) + sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a))

Теперь подставим это в наше уравнение:

(sin^2(a) - cos^2(a))(sin^4(a) + sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a)) - 3/4 * cos^2(a) + 3/4 * sin^2(a) = 0

Теперь давайте упростим вторую часть уравнения:

- 3/4 * cos^2(a) + 3/4 * sin^2(a) = 3/4 * (sin^2(a) - cos^2(a))

Теперь можем записать уравнение в следующем виде:

(sin^2(a) - cos^2(a))(sin^4(a) + sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) + 3/4) = 0

Теперь мы имеем произведение, равное нулю. Это значит, что один из множителей равен нулю:

1. sin^2(a) - cos^2(a) = 0
2. sin^4(a) + sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) + 3/4 = 0

Решим первое уравнение:

sin^2(a) = cos^2(a)

Это означает, что:

tan^2(a) = 1, откуда tan(a) = ±1.

Таким образом, a = π/4 + kπ/2, где k - целое число.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

sin^4(a) + sin^2(a)cos^2(a) + cos^4(a) + 3/4 = 0.

Обратите внимание, что sin^4(a) + cos^4(a) можно представить как:

sin^4(a) + cos^4(a) = (sin^2(a) + cos^2(a))^2 - 2sin^2(a)cos^2(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a).

Таким образом, у нас получится:

1 - 2sin^2(a)cos^2(a) + sin^2(a)cos^2(a) + 3/4 = 0.

Упрощаем это выражение:

1 - sin^2(a)cos^2(a) + 3/4 = 0.

1 + 3/4 = 7/4, следовательно:

7/4 - sin^2(a)cos^2(a) = 0, откуда sin^2(a)cos^2(a) = 7/4.

Но sin^2(a) и cos^2(a) не могут одновременно принимать такие значения, так как их максимальное значение 1. Таким образом, это уравнение не имеет решений.

В итоге, единственные решения исходного уравнения получены из первого уравнения:

a = π/4 + kπ/2, где k - целое число.