Чтобы решить задачу, давайте разберем уравнение и условия, которые нам даны. У нас есть квадратное уравнение:

x² + (a+4)x - a + 16 = 0

и нам нужно найти такое значение a, при котором уравнение имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого. Давайте запишем эти корни как x₁ и x₂, где x₂ = 2x₁.

Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней выражается формулой:

• x₁ + x₂ = -b/a

а произведение корней:

• x₁ * x₂ = c/a

В нашем уравнении:

• a = 1
• b = a + 4
• c = -a + 16

Таким образом, для нашего уравнения:

• x₁ + x₂ = -(a + 4)
• x₁ * x₂ = -a + 16

Так как x₂ = 2x₁, то:

• x₁ + 2x₁ = 3x₁ = -(a + 4)
• x₁ * 2x₁ = 2x₁² = -a + 16

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 3x₁ = -(a + 4)
2. 2x₁² = -a + 16

Из первого уравнения выразим x₁:

• x₁ = -(a + 4)/3

Подставим x₁ во второе уравнение:

• 2(-(a + 4)/3)² = -a + 16

Решим уравнение:

• 2(a + 4)²/9 = -a + 16
• 2(a² + 8a + 16)/9 = -a + 16
• 2a² + 16a + 32 = 9(-a + 16)
• 2a² + 16a + 32 = -9a + 144
• 2a² + 25a - 112 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

• a = (-25 ± √(625 + 896))/4
• a = (-25 ± √1521)/4
• a = (-25 ± 39)/4

Получаем два значения:

• a₁ = (-25 + 39)/4 = 14/4 = 3.5
• a₂ = (-25 - 39)/4 = -64/4 = -16

Поскольку нам нужны положительные корни, проверим a = 3.5:

• b = a + 4 = 3.5 + 4 = 7.5
• c = -a + 16 = -3.5 + 16 = 12.5

Для a = 3.5 уравнение:

x² + 7.5x + 12.5 = 0

Сумма корней:

• x₁ + x₂ = -7.5
• x₁ = -7.5/3 = -2.5
• x₂ = -5

Оба корня отрицательные, следовательно, значение a = 3.5 не подходит.

Теперь проверим a = -16:

• b = a + 4 = -16 + 4 = -12
• c = -a + 16 = 16 + 16 = 32

Для a = -16 уравнение:

x² - 12x + 32 = 0

Сумма корней:

• x₁ + x₂ = 12
• x₁ = 4
• x₂ = 8

Оба корня положительные, и x₂ = 2x₁, следовательно, значение a = -16 подходит.

Таким образом, при a = -16 уравнение имеет два положительных корня, один из которых в два раза больше другого.