Для решения уравнения (x² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3 = 0, давайте сначала упростим его, введя новую переменную. Пусть:

Теперь мы можем переписать уравнение в терминах y:

(y)² - 2y - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

Посчитаем дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Теперь найдем корни:

x = (2 ± √16) / 2

√16 = 4, поэтому:

x = (2 ± 4) / 2

Теперь у нас есть два случая:

1. x₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
2. x₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для y:

• y₁ = 3
• y₂ = -1

Вспомним, что y = x² + 2x. Теперь подставим найденные значения y и решим для x:

1. Для y₁ = 3:

x² + 2x - 3 = 0

Решим это уравнение:

• a = 1
• b = 2
• c = -3

D = (2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Корни:

x = (-2 ± √16) / 2 = (-2 ± 4) / 2

1. x₁ = (2) / 2 = 1
2. x₂ = (-6) / 2 = -3

2. Для y₂ = -1:

x² + 2x + 1 = 0

Это уравнение можно решить так:

• a = 1
• b = 2
• c = 1

D = (2)² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0

Корень будет единственным:

x = (-2) / 2 = -1

Теперь соберем все найденные корни:

• x₁ = 1
• x₂ = -3
• x₃ = -1

Таким образом, уравнение (x² + 2x)² - 2(x² + 2x) - 3 = 0 имеет три решения: