Решите уравнение: (x^2 - 2x)^2 - 12(x^2 - 2x) + 11 = 0

Математика 9 класс Уравнения и неравенства уравнение решение уравнения математика 9 класс квадратное уравнение алгебра 9 класс Новый

Для решения уравнения (x^2 - 2x)^2 - 12(x^2 - 2x) + 11 = 0, давайте введем замену переменной. Обозначим:

y = x^2 - 2x

Теперь у нас есть новое уравнение:

(y^2 - 12y + 11 = 0)

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении a = 1, b = -12, c = 11. Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-12)^2 - 4 1 11

Теперь вычислим:

• (-12)^2 = 144
• 4 * 1 * 11 = 44
• Теперь D = 144 - 44 = 100

Дискриминант D равен 100. Поскольку D больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

y1,2 = (12 ± √100) / 2

Вычислим корни:

• √100 = 10
• y1 = (12 + 10) / 2 = 22 / 2 = 11
• y2 = (12 - 10) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь у нас есть два значения для y:

y1 = 11 и y2 = 1

Теперь вернемся к нашей замене y = x^2 - 2x и решим два уравнения:

1. x^2 - 2x - 11 = 0

Для этого уравнения также найдем дискриминант:

• a = 1, b = -2, c = -11
• D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-11) = 4 + 44 = 48

Теперь найдем корни:

x1,2 = (2 ± √48) / 2

Вычислим:

• √48 = 4√3
• x1 = (2 + 4√3) / 2 = 1 + 2√3
• x2 = (2 - 4√3) / 2 = 1 - 2√3

2. x^2 - 2x - 1 = 0

Для этого уравнения также найдем дискриминант:

• a = 1, b = -2, c = -1
• D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-1) = 4 + 4 = 8

Теперь найдем корни:

x1,2 = (2 ± √8) / 2

Вычислим:

• √8 = 2√2
• x1 = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2
• x2 = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2

Таким образом, у нас есть четыре корня уравнения:

x1 = 1 + 2√3, x2 = 1 - 2√3, x3 = 1 + √2, x4 = 1 - √2

Это и есть все решения нашего исходного уравнения.