Сколькими способами можно разменять 100 рублей, используя монеты по 2 и 5 рублей?

Математика 9 класс Комбинаторика разменять 100 рублей способы размена монеты 2 рубля монеты 5 рублей задачи по математике комбинаторика решение задач математические задачи количество способов размен монет Новый

Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно разменять 100 рублей, используя монеты по 2 и 5 рублей, давайте обозначим:

• x - количество монет по 2 рубля;
• y - количество монет по 5 рублей.

Теперь мы можем записать уравнение, которое будет описывать общую сумму:

2x + 5y = 100

Наша задача состоит в том, чтобы найти все возможные неотрицательные целые числа x и y, которые удовлетворяют этому уравнению.

Для начала, давайте выразим y через x:

5y = 100 - 2x

Теперь делим обе стороны на 5:

y = (100 - 2x) / 5

Чтобы y было целым числом, выражение (100 - 2x) должно делиться на 5. Это означает, что 100 - 2x должно быть кратно 5. Рассмотрим это выражение:

100 - 2x ≡ 0 (mod 5)

Поскольку 100 делится на 5, нам нужно, чтобы -2x также делилось на 5. Это значит, что 2x ≡ 0 (mod 5). Поскольку 2 и 5 являются взаимно простыми числами, это означает, что x должно быть кратно 5. Обозначим:

x = 5k (где k - неотрицательное целое число).

Теперь подставим x в наше уравнение:

2(5k) + 5y = 100

Это упростится до:

10k + 5y = 100

Теперь делим всё на 5:

2k + y = 20

Теперь мы можем выразить y:

y = 20 - 2k

Теперь давайте найдем допустимые значения для k. Поскольку y должно быть неотрицательным, у нас есть условие:

20 - 2k ≥ 0

Решим это неравенство:

20 ≥ 2k

10 ≥ k

Это означает, что k может принимать значения от 0 до 10, включая оба конца. Таким образом, возможные значения k:

• k = 0
• k = 1
• k = 2
• k = 3
• k = 4
• k = 5
• k = 6
• k = 7
• k = 8
• k = 9
• k = 10

Таким образом, у нас есть 11 возможных значений для k. Для каждого значения k мы можем найти соответствующее значение y, которое будет неотрицательным.

Следовательно, общее количество способов разменять 100 рублей с использованием монет по 2 и 5 рублей составляет 11.