Сколькими способами в таблице 3 на 2 можно расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел делилась на 3?

Математика 9 класс Комбинаторика расстановка чисел таблица 3 на 2 сумма чисел делится на 3 комбинаторика задачи по математике Новый

Для решения задачи о расстановке чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 в таблице 3 на 2 с условием, что сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце делится на 3, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Анализ чисел по модулю 3

Сначала определим остатки от деления каждого числа на 3:

• 1 mod 3 = 1
• 2 mod 3 = 2
• 3 mod 3 = 0
• 4 mod 3 = 1
• 5 mod 3 = 2
• 6 mod 3 = 0

Таким образом, мы имеем:

• Остаток 0: 3, 6
• Остаток 1: 1, 4
• Остаток 2: 2, 5

Шаг 2: Условия для суммы

Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце должна быть кратна 3. Это означает, что:

• В каждой строке должно быть равное количество чисел с остатками 0, 1 и 2.
• Так как у нас 6 чисел, и мы формируем 3 строки, то в каждой строке должно быть по 2 числа с остатком 0, 1 и 2.

Шаг 3: Определение количества способов расстановки

Теперь мы можем подсчитать количество способов расстановки чисел:

• Выбираем 2 числа с остатком 0 из {3, 6}. Поскольку у нас 2 числа, их можно выбрать только одним способом.
• Выбираем 2 числа с остатком 1 из {1, 4}. Также можно выбрать только одним способом.
• Выбираем 2 числа с остатком 2 из {2, 5}. Опять же, можно выбрать только одним способом.

Шаг 4: Расстановка чисел в таблице

Теперь у нас есть 2 числа с остатком 0, 2 числа с остатком 1 и 2 числа с остатком 2, которые необходимо расставить в таблице 3 на 2. Мы можем рассмотреть, как можно расставить эти числа:

• Так как у нас 6 чисел, общее количество способов расстановки этих чисел будет равно 6! (факториал 6), что равно 720.
• Однако, так как числа делятся на три группы по остаткам, мы должны разделить на количество перестановок внутри каждой группы:
• 0 остатка: 2! = 2
• 1 остатка: 2! = 2
• 2 остатка: 2! = 2
• Таким образом, общее количество способов расстановки чисел будет равно 720 / (2 * 2 * 2) = 720 / 8 = 90.

Итак, в таблице 3 на 2 можно расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце делилась на 3, в 90 способах.