Сумма длин гипотенузы и катета, который находится против угла в 30°, составляет 24 см. Как можно вычислить площадь круга, который описан вокруг этого треугольника?

Математика 9 класс Геометрия треугольников площадь круга треугольник гипотенуза катет угол 30° математика 9 класс задачи по геометрии формулы вычисления Новый

Для решения задачи начнем с анализа треугольника, у которого один из углов равен 30°. Это значит, что мы имеем дело с прямоугольным треугольником, где гипотенуза будет самой длинной стороной, а катет, противолежащий углу в 30°, будет в два раза короче гипотенузы.

Обозначим гипотенузу через c, а катет, противолежащий углу в 30°, через a. Мы знаем, что:

• Сумма гипотенузы и катета равна 24 см: c + a = 24.
• По свойству треугольника: a = c / 2 (так как катет против угла в 30° равен половине гипотенузы).

Теперь подставим выражение для a в первое уравнение:

1. c + (c / 2) = 24.
2. Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби: 2c + c = 48.
3. Сложим: 3c = 48.
4. Разделим на 3: c = 16 см.

Теперь, зная гипотенузу, найдем катет a:

1. a = c / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Теперь у нас есть длины сторон треугольника:

• Гипотенуза (c) = 16 см,
• Катет против угла в 30° (a) = 8 см.
• Другой катет (b), который против угла в 60°, можно найти с использованием теоремы Пифагора: b = √(c² - a²).

Теперь найдем b:

1. b = √(16² - 8²) = √(256 - 64) = √192 = 8√3 см.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности (R) вокруг этого треугольника. Формула для радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника:

R = c / 2

Подставим значение:

1. R = 16 / 2 = 8 см.

Теперь мы можем вычислить площадь круга, описанного вокруг треугольника, используя формулу:

Площадь круга = πR²

Подставим значение радиуса:

1. Площадь = π * (8)² = π * 64 см².

Таким образом, площадь круга, описанного вокруг данного треугольника, равна 64π см².