У меня есть два вопроса по математике. Первый: как решить уравнение cos5x + cos15x = cos10x? И второй: как решить уравнение ctg4x - ctg2x = 2? Буду благодарен за помощь!

Математика 9 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos5x + cos15x = cos10x решение уравнения ctg4x - ctg2x = 2 математика 9 класс тригонометрические уравнения решение тригонометрических уравнений Новый

Давайте разберем оба ваших вопроса по очереди.

Первый вопрос: как решить уравнение cos5x + cos15x = cos10x?

Для начала, мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов. Напомним, что:

• cos A + cos B = 2 * cos((A + B)/2) * cos((A - B)/2).

В нашем случае:

• A = 15x, B = 5x.

Теперь подставим эти значения в формулу:

• cos5x + cos15x = 2 * cos((15x + 5x)/2) * cos((15x - 5x)/2)
• cos5x + cos15x = 2 * cos(10x) * cos(5x).

Теперь подставим это в уравнение:

• 2 * cos(10x) * cos(5x) = cos(10x).

Теперь мы можем разделить обе стороны на cos(10x), но нужно учитывать, что cos(10x) не должен равняться нулю. Если cos(10x) = 0, то 10x = (2k + 1) * π/2, где k - целое число. Это даст нам некоторые решения.

Теперь, если cos(10x) ≠ 0, мы можем упростить уравнение:

• 2 * cos(5x) = 1.

Теперь решим это уравнение:

• cos(5x) = 1/2.

Значения, при которых косинус равен 1/2, это:

• 5x = π/3 + 2kπ
• 5x = 5π/3 + 2kπ.

Теперь делим на 5:

• x = π/15 + (2kπ)/5,
• x = π/3 + (2kπ)/5.

Теперь давайте перейдем ко второму вопросу.

Второй вопрос: как решить уравнение ctg4x - ctg2x = 2?

В этом уравнении мы можем воспользоваться формулой разности котангенсов:

• ctg A - ctg B = (sin(B - A))/(sin A * sin B).

В нашем случае A = 4x и B = 2x. Подставляем:

• ctg4x - ctg2x = (sin(2x - 4x))/(sin 4x * sin 2x) = (sin(-2x))/(sin 4x * sin 2x) = -sin(2x)/(sin 4x * sin 2x).

Теперь мы можем записать уравнение:

• -sin(2x)/(sin 4x * sin 2x) = 2.

Умножим обе стороны на -1:

• sin(2x)/(sin 4x * sin 2x) = -2.

Теперь мы можем упростить:

• 1/(sin 4x) = -2.

Это означает, что sin 4x = -1/2. Теперь найдем значения 4x:

• 4x = 7π/6 + 2kπ,
• 4x = 11π/6 + 2kπ.

Теперь делим на 4:

• x = 7π/24 + (kπ)/2,
• x = 11π/24 + (kπ)/2.

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!