В акционерном обществе имеется 1899 акционеров, и любые 1000 из них в совокупности обладают контрольным пакетом акций (не менее половины акций). Какую максимальную долю акций может иметь один акционер?

Математика 9 класс Комбинаторика акционерное общество контрольный пакет акций максимальная доля акций акционеры математика 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с анализа условия. У нас есть 1899 акционеров, и любые 1000 из них обладают контрольным пакетом акций, что означает, что они владеют более чем половиной акций всего акционерного общества.

Обозначим общее количество акций как S. Контрольный пакет акций, который составляет более половины, можно записать как:

Контрольный пакет > S / 2

Теперь, если любые 1000 акционеров обладают контрольным пакетом, то это значит, что даже если один акционер владеет максимальной долей акций, то оставшиеся 998 акционеров должны иметь достаточно акций, чтобы в сумме с акциями первого акционера они превышали половину акций.

Предположим, что один акционер владеет x акциями. Тогда оставшиеся 1898 акционеров будут владеть S - x акциями. Для того чтобы 1000 акционеров, включая нашего акционера, имели контрольный пакет, должно выполняться следующее неравенство:

(S - x) / 1898 * 1000 + x > S / 2

Решим это неравенство. Сначала упростим его:

1. Умножим обе стороны на 1898:
2. (S - x) * 1000 + 1898x > 949S
3. 1000S - 1000x + 1898x > 949S
4. 1000S + 898x > 949S
5. 898x > 949S - 1000S
6. 898x > -51S

Теперь мы видим, что x может быть положительным, если S положительно. Это неравенство не дает нам конкретного ограничения на x, но давайте рассмотрим, что произойдет, если один акционер владеет максимальной долей акций.

Предположим, что x = kS, где k - доля акций, которую мы хотим определить. Тогда:

S - x = S - kS = (1 - k)S

Теперь нам нужно, чтобы любые 1000 акционеров могли обладать контрольным пакетом. Рассмотрим крайний случай, когда 999 акционеров имеют минимальное количество акций, чтобы все равно оставаться в пределах контрольного пакета.

Пусть 999 акционеров имеют равные доли. Тогда:

Каждый из 999 акционеров имеет (1 - k)S / 999 акций.

Теперь проверим, что 1000 акционеров, включая нашего акционера, могут обладать контрольным пакетом:

(1 - k)S / 999 * 999 + kS > S / 2

Упрощаем это:

(1 - k)S + kS > S / 2

S > S / 2

Это всегда верно. Теперь давайте найдем максимальное значение k, чтобы 999 акционеров все еще могли иметь контрольный пакет.

Если один акционер имеет kS, тогда 998 акционеров должны иметь не менее:

(1 - k)S / 998 акций.

Таким образом, чтобы 999 акционеров могли иметь контрольный пакет, необходимо, чтобы:

999 * (1 - k)S / 998 + kS > S / 2

Решая это неравенство, мы можем определить максимальное значение k. В итоге, выясняется, что максимальная доля акций, которую может иметь один акционер, составляет:

k = 0.5

Таким образом, максимальная доля акций, которую может иметь один акционер, составляет 50%.