В клетки таблицы 15 на 15 вписаны целые числа. Известно, что сумма чисел в любом квадратике 2 на 2 нечетна. Какое наименьшее и какое наибольшее количество нечетных чисел может содержаться во всей таблице?

Математика 9 класс Комбинаторика математика 9 класс сумма чисел квадратики 2 на 2 нечетные числа целые числа таблица 15 на 15 количество нечётных чисел Новый

Для решения этой задачи начнем с анализа условия: сумма чисел в любом квадратике 2 на 2 нечетна. Это означает, что в каждом таком квадратике должно быть нечетное количество нечетных чисел. Поскольку квадраты 2 на 2 содержат 4 числа, это значит, что в каждом квадратике должно быть либо 1, либо 3 нечетных числа.

Теперь рассмотрим, как это влияет на всю таблицу 15 на 15. Мы можем разбить таблицу на квадраты 2 на 2. В таблице 15 на 15 всего 15 * 15 = 225 клеток. Если мы разобьем ее на квадраты 2 на 2, то получим 7 полных квадратов по вертикали и 7 полных квадратов по горизонтали, а также одну лишнюю строку и одну лишнюю колонку. Таким образом, у нас получится 7 * 7 = 49 полных квадратов 2 на 2 и 1 неполный квадрат, состоящий из 1 строки и 1 столбца.

Теперь посчитаем, сколько нечетных чисел может быть в таблице:

Наименьшее количество нечетных чисел:

• Если в каждом квадратике 2 на 2 будет ровно 1 нечетное число, то общее количество нечетных чисел будет равно количеству полных квадратов умноженному на 1.
• 49 полных квадратов * 1 нечетное число = 49 нечетных чисел.
• Однако, нам нужно учесть, что лишняя строка и колонка могут добавить еще нечетные числа. Если в них будет 0 нечетных чисел, то общее количество нечетных чисел останется 49.

Таким образом, наименьшее количество нечетных чисел в таблице равно 49.

Наибольшее количество нечетных чисел:

• Если в каждом квадратике 2 на 2 будет 3 нечетных числа, то общее количество нечетных чисел будет равно количеству полных квадратов умноженному на 3.
• 49 полных квадратов * 3 нечетных числа = 147 нечетных чисел.
• Лишняя строка и колонка могут добавить еще нечетные числа. Если в них будет 1 нечетное число в каждой клетке, то это добавит еще 15 нечетных чисел (по 1 на каждую клетку в строке и колонке).

Таким образом, наибольшее количество нечетных чисел в таблице равно 147 + 15 = 162.

В итоге, наименьшее количество нечетных чисел в таблице равно 49, а наибольшее количество нечетных чисел равно 162.