В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка Q, а на продолжении стороны AC за точку A - точка P, так что BQ и BP являются биссектрисами внутреннего и внешнего углов при вершине B. Известно, что окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, касается прямой BC. Как можно доказать, что треугольник ABC является прямоугольным?

Математика 9 класс Геометрия треугольников треугольник ABC точка Q биссектрисы угол B окружность отрезок PQ прямая BC доказательство прямоугольный треугольник Новый

Для доказательства того, что треугольник ABC является прямоугольным, мы будем использовать свойства биссектрис и окружности, построенной на отрезке PQ как на диаметре.

Шаг 1: Определим свойства биссектрис.

• Биссектрисы углов в треугольнике имеют важное свойство: они делят углы пополам.
• В нашем случае BQ - это биссектрисa внутреннего угла ABC, а BP - биссектрисa внешнего угла при вершине B.

Шаг 2: Рассмотрим окружность, построенную на отрезке PQ.

• Окружность, построенная на отрезке PQ как на диаметре, имеет центр в середине отрезка PQ и радиус, равный половине длины PQ.
• По свойству окружности, если она касается прямой, то радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен этой прямой.

Шаг 3: Используем свойство касания окружности к прямой BC.

• Пусть точка касания окружности с прямой BC - это точка T.
• Тогда радиус OT (где O - центр окружности) перпендикулярен BC.

Шаг 4: Рассмотрим угол ABC.

• Так как BP является биссектрисой внешнего угла, а BQ - биссектрисой внутреннего угла, то угол ABQ равен углу CBP.
• Это значит, что угол ABC равен 90 градусам, так как сумма внутреннего и внешнего углов при вершине B равна 180 градусам.

Шаг 5: Заключение.

• Таким образом, мы доказали, что угол ABC равен 90 градусам, что означает, что треугольник ABC является прямоугольным.

В результате, используя свойства биссектрис и окружности, мы пришли к выводу, что треугольник ABC действительно является прямоугольным.