В уравнении x^3 - 7x^2 + px + q = 0, если известны корни -3a, a и a + 3, каким образом можно определить значения a, p и q?

Математика 9 класс Уравнения с корнями уравнение x^3 корни уравнения значения a p q методы нахождения корней решение уравнения математические задачи алгебра 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть кубическое уравнение:

x^3 - 7x^2 + px + q = 0

Из условия задачи известно, что корни этого уравнения: -3a, a и a + 3. Мы можем воспользоваться свойством корней многочлена, которое гласит, что сумма корней равна коэффициенту при x^2 с противоположным знаком, а произведение корней равен свободному члену (с учетом знака).

Теперь давайте найдем сумму корней:

• Сумма корней: -3a + a + (a + 3) = -3a + a + a + 3 = -a + 3

Согласно свойству, сумма корней равна 7 (так как перед x^2 стоит -7):

-a + 3 = 7

Теперь решим это уравнение для a:

• -a = 7 - 3
• -a = 4
• a = -4

Теперь, когда мы нашли значение a, можем определить корни:

• Первый корень: -3a = -3 * (-4) = 12
• Второй корень: a = -4
• Третий корень: a + 3 = -4 + 3 = -1

Теперь у нас есть корни 12, -4 и -1. Далее мы можем использовать произведение корней для нахождения q:

Произведение корней равно -q:

12 * (-4) * (-1) = -q

Теперь найдем произведение:

• 12 * (-4) = -48
• -48 * (-1) = 48

Таким образом, q = -48.

Теперь давайте найдем значение p. Для этого воспользуемся формулой для суммы произведений корней по два:

Сумма произведений корней по два равна p:

(-3a) * a + (-3a) * (a + 3) + a * (a + 3) = p

Подставляем значение a:

• (-3 * -4) * (-4) + (-3 * -4) * (-4 + 3) + (-4) * (-4 + 3)

Теперь подставим значения:

• (12) * (-4) + (12) * (-1) + (-4) * (-1)
• -48 - 12 + 4 = p

Теперь вычислим:

• -48 - 12 = -60
• -60 + 4 = -56

Таким образом, p = -56.

В итоге мы нашли:

• a = -4
• p = -56
• q = -48

Это и есть искомые значения.