Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть каждую часть отдельно. Начнем с того, чтобы перевести все временные значения в секунды для удобства расчетов.

• Время заполнения холодной воды: 6 мин 40 сек = 6 * 60 + 40 = 400 сек.
• Время заполнения горячей воды: 8 мин = 8 * 60 = 480 сек.
• Время вытекания воды: 13 мин 20 сек = 13 * 60 + 20 = 800 сек.

Теперь найдем скорости наполнения и вытекания воды:

• Скорость холодной воды: 1/400 ванны в секунду.
• Скорость горячей воды: 1/480 ванны в секунду.
• Скорость вытекания воды: 1/800 ванны в секунду.

Теперь перейдем к расчетам.

Сначала найдем, сколько времени потребуется, чтобы заполнить 3/4 ванны горячей водой и 1/4 ванны холодной:

• Для 3/4 горячей воды: время = (3/4) / (1/480) = 3/4 * 480 = 360 сек.
• Для 1/4 холодной воды: время = (1/4) / (1/400) = 1/4 * 400 = 100 сек.

Теперь найдем общее время, которое потребуется, если эти два процесса происходят одновременно. Чтобы найти общее время, мы можем использовать формулу:

1/T = 1/T1 + 1/T2,

где T1 - время заполнения горячей воды, T2 - время заполнения холодной воды.

• 1/T = 1/360 + 1/100.

Теперь найдем общий знаменатель:

• Общий знаменатель = 3600.
• 1/360 = 10/3600
• 1/100 = 36/3600

Теперь складываем:

• 1/T = (10 + 36) / 3600 = 46 / 3600.

Теперь найдем T:

• T = 3600 / 46 ≈ 78.26 сек.

Таким образом, время, необходимое для заполнения ванны с 3/4 горячей и 1/4 холодной водой, составляет примерно 78 секунд.

Теперь найдем, сколько времени потребуется для заполнения ванны, если открыты оба крана:

• Скорость заполнения = Скорость холодной + Скорость горячей - Скорость вытекания.

Подставим значения:

• Скорость заполнения = (1/400 + 1/480 - 1/800).

Найдем общий знаменатель:

• Общий знаменатель = 2400.
• 1/400 = 6/2400,
• 1/480 = 5/2400,
• 1/800 = 3/2400.

Теперь подставим:

• Скорость заполнения = (6 + 5 - 3) / 2400 = 8/2400 = 1/300 ванны в секунду.

Теперь найдем время, необходимое для заполнения всей ванны:

• Время = 1 / (1/300) = 300 секунд.

Таким образом, время, необходимое для заполнения ванны при открытых обоих кранах, составляет 300 секунд, или 5 минут.