Вася записал в тетрадь 30 различных целых чисел, каждое из которых он возводил либо в квадрат, либо в куб, и записал 30 результатов на доске. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?

Математика 9 класс Комбинаторика математика 9 класс целые числа квадрат куб наименьшее количество различные числа задача по математике Новый

Чтобы найти наименьшее количество различных чисел, которые мог записать Вася на доске, давайте рассмотрим, что происходит, когда мы возводим целые числа в квадрат и в куб.

Обозначим целые числа, которые Вася записал, как a1, a2, ..., a30. Он возводит каждое из них в квадрат или в куб, получая следующие результаты:

• Квадрат: a^2
• Куб: a^3

Теперь давайте проанализируем, какие числа могут совпадать. Например, если мы возьмем одно и то же число и возведем его и в квадрат, и в куб, то получим два различных результата, если это число не равно 0 или 1.

Однако, если мы возьмем числа, которые имеют общие корни, мы можем уменьшить количество различных результатов. Например:

• Для числа 0: 0^2 = 0 и 0^3 = 0
• Для числа 1: 1^2 = 1 и 1^3 = 1
• Для числа -1: (-1)^2 = 1 и (-1)^3 = -1

Теперь, чтобы минимизировать количество различных результатов, мы можем использовать числа, которые при возведении в квадрат и в куб дают те же самые значения или совпадают с другими результатами. Например, если мы возьмем числа 0, 1 и -1, то они дают:

• 0: 0^2 = 0, 0^3 = 0
• 1: 1^2 = 1, 1^3 = 1
• -1: (-1)^2 = 1, (-1)^3 = -1

Теперь рассмотрим числа 2 и 3:

• 2: 2^2 = 4, 2^3 = 8
• 3: 3^2 = 9, 3^3 = 27

Таким образом, если мы будем использовать числа, которые имеют общие значения в квадрате и кубе, мы можем значительно сократить количество различных результатов. Например:

• 0, 1, -1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Если мы будем использовать только 10 уникальных чисел, например, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и будем возводить их в квадрат и куб, мы можем получить:

• 0, 1, 4, 8, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 27, ...

В итоге, если Вася использует только 10 различных чисел, он может получить 19 различных результатов, но если он будет выбирать числа более тщательно, он может уменьшить это количество.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которое могло оказаться на доске, составляет 19.