Вопрос: В круге расположены 75 положительных чисел. Из квадрата каждого числа вычли единицу, деленную на следующее по часовой стрелке число. Все 75 полученных значений оказались равными. Докажите, что и все исходные числа тоже были равны.

Математика 9 класс Системы уравнений математика 9 класс задача на доказательство равенство чисел квадрат числа круг положительных чисел вычитание единицы следующее число математическая логика свойства равенства алгебраические выражения Новый

Давайте разберем данное утверждение шаг за шагом.

Пусть у нас есть 75 положительных чисел, которые обозначим как a1, a2, a3, ..., a75. Эти числа расположены по кругу, и каждое число a_i связано с числом a_(i+1) (где a_76 = a_1, чтобы замкнуть круг).

По условию, мы должны вычесть 1 из квадрата каждого числа и разделить на следующее число по часовой стрелке. Это можно записать следующим образом:

• Для a1: (a1^2 - 1) / a2
• Для a2: (a2^2 - 1) / a3
• Для a3: (a3^2 - 1) / a4
• ...
• Для a75: (a75^2 - 1) / a1

Согласно условию задачи, все эти значения равны, то есть:

(a1^2 - 1) / a2 = (a2^2 - 1) / a3 = ... = (a75^2 - 1) / a1 = k, где k - некоторая константа.

Теперь мы можем выразить каждое из чисел a_i через k:

• a1^2 - 1 = k * a2
• a2^2 - 1 = k * a3
• a3^2 - 1 = k * a4
• ...
• a75^2 - 1 = k * a1

Теперь, давайте выразим a2 через a1, a3 через a2 и так далее. Например, из первого уравнения получаем:

a1^2 - 1 = k * a2 <=> a2 = (a1^2 - 1) / k.

Подставим a2 в уравнение для a3:

a2^2 - 1 = k * a3 <=> ((a1^2 - 1) / k)^2 - 1 = k * a3.

Продолжая этот процесс, мы можем выразить все числа через a1 и k. Однако, чтобы доказать, что все числа равны, давайте проанализируем структуру полученных уравнений.

Если мы предположим, что a1, a2, ..., a75 не равны, то, подставляя одно значение в другое, мы можем заметить, что разница между ними будет увеличиваться или уменьшаться в зависимости от значений k и самих a_i. Это приведет к противоречию, так как все выражения равны k.

Таким образом, единственный способ, чтобы все выражения оставались равными, это когда все a_i равны между собой. Обозначим общее значение как a. Тогда:

(a^2 - 1) / a = k, что означает, что k также будет постоянным, и все a_i равны a.

Таким образом, мы приходим к выводу, что все 75 положительных чисел действительно равны.

Ответ: Все исходные числа равны.