Давайте решим уравнение шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:

1 - cos(2x) + sqrt(2) sin(x) = sqrt(2) - 2 sin(x + π)

Сначала упростим правую часть уравнения. Используем известное свойство синуса:

sin(x + π) = -sin(x)

Таким образом, уравнение можно переписать как:

1 - cos(2x) + sqrt(2) sin(x) = sqrt(2) + 2 sin(x)

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

1 - cos(2x) + sqrt(2) sin(x) - sqrt(2) - 2 sin(x) = 0

Упростим это уравнение:

-cos(2x) + (sqrt(2) - 2) sin(x) + 1 - sqrt(2) = 0

Теперь у нас есть:

-cos(2x) + (sqrt(2) - 2) sin(x) + (1 - sqrt(2)) = 0

Теперь давайте выразим cos(2x) через sin(x). Используем формулу:

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

Подставим это в уравнение:

-(1 - 2sin^2(x)) + (sqrt(2) - 2) sin(x) + (1 - sqrt(2)) = 0

Упрощаем уравнение:

2sin^2(x) + (sqrt(2) - 2) sin(x) + (1 - sqrt(2)) = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим sin(x) как t:

2t^2 + (sqrt(2) - 2)t + (1 - sqrt(2)) = 0

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

D = (sqrt(2) - 2)^2 - 4 * 2 * (1 - sqrt(2))

После вычислений получаем:

D = 2 - 4sqrt(2) + 4 - 8 + 8sqrt(2) = 6sqrt(2) - 2

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

t = (-b ± sqrt(D)) / (2a)

Подставляя значения, получаем:

t1,2 = (-(sqrt(2) - 2) ± sqrt(6sqrt(2) - 2)) / 4

Теперь, когда мы нашли t, нам нужно вернуться к sin(x) и найти x. Однако, прежде чем продолжить, давайте проверим, какие значения t могут быть допустимыми. Напомним, что sin(x) может принимать значения только от -1 до 1.

После нахождения значений t мы можем найти x с помощью:

x = arcsin(t) + 2kπ

или

x = π - arcsin(t) + 2kπ

где k - целое число.

Теперь найдем все корни, которые принадлежат отрезку [-3π, -3π/2].

Для этого определим значения x для каждого корня t, которые мы нашли. Обратите внимание, что мы будем учитывать только те значения, которые находятся в указанном диапазоне.

После подстановки и нахождения всех возможных x, мы проверяем, какие из них попадают в заданный интервал:

• Проверяем x1, x2, ... и так далее.

После проверки всех корней, мы можем записать окончательные значения x, которые соответствуют заданному отрезку.

Таким образом, мы нашли все корни уравнения на отрезке [-3π, -3π/2].