Для решения уравнения 4 sin(2x) - 4√3 sin(x) + 12 cos(x) - 6√3 = 0 начнем с преобразования выражения, используя известные тригонометрические тождества.

Шаг 1: Преобразуем sin(2x)

Мы знаем, что sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Подставим это в уравнение:

• 4 sin(2x) = 4 * 2 sin(x) cos(x) = 8 sin(x) cos(x).

Теперь уравнение выглядит так:

8 sin(x) cos(x) - 4√3 sin(x) + 12 cos(x) - 6√3 = 0.

Шаг 2: Группируем и упрощаем уравнение

Преобразуем уравнение, выделяя общие множители:

• 8 sin(x) cos(x) - 4√3 sin(x) + 12 cos(x) - 6√3 = 0.

Можно выделить sin(x) и cos(x):

• sin(x)(8 cos(x) - 4√3) + 12 cos(x) - 6√3 = 0.

Шаг 3: Решаем уравнение

Теперь у нас есть два множителя, и мы можем решить уравнение, приравняв каждый из них к нулю:

1. sin(x) = 0
2. 8 cos(x) - 4√3 + 12 cos(x) - 6√3 = 0.

Шаг 4: Находим корни для sin(x) = 0

Корни уравнения sin(x) = 0 находятся в точках:

• x = kπ, где k - целое число.

Теперь найдем значения k, чтобы корни лежали на отрезке [-4π; -5π/2].

• k = -4: x = -4π
• k = -3: x = -3π
• k = -2: x = -2π
• k = -1: x = -π
• k = 0: x = 0 (не входит в отрезок)

Таким образом, корни из первого множителя: -4π, -3π, -2π, -π.

Шаг 5: Находим корни для второго множителя

Решим уравнение:

8 cos(x) + 12 cos(x) - 4√3 - 6√3 = 0.

Соберем подобные:

20 cos(x) - 10√3 = 0.

20 cos(x) = 10√3.

cos(x) = √3 / 2.

Корни этого уравнения находятся в точках:

• x = ± π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь подставим значения k, чтобы найти корни на отрезке [-4π; -5π/2].

• k = -4: x = -4π + π/6 = -24π/6 + π/6 = -23π/6 (не входит в отрезок)
• k = -3: x = -3π + π/6 = -18π/6 + π/6 = -17π/6 (не входит в отрезок)
• k = -2: x = -2π + π/6 = -12π/6 + π/6 = -11π/6 (не входит в отрезок)
• k = -1: x = -π + π/6 = -6π/6 + π/6 = -5π/6 (не входит в отрезок)
• k = 0: x = π/6 (не входит в отрезок)
• k = -4: x = -4π - π/6 = -24π/6 - π/6 = -25π/6 (входит в отрезок)

Шаг 6: Собираем все корни

Теперь у нас есть корни:

• Из первого множителя: -4π, -3π, -2π, -π.
• Из второго множителя: -25π/6.

Ответ: Все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2]: -4π, -3π, -2π, -π, -25π/6.