Даны вершины тетраэдра A(2; 5; -1), B(4; -6; -3), C(-7; -9; -2), D(1; 5; 3). Нужно:

1. Написать уравнение прямой AB и AC.
2. Написать уравнение плоскости, содержащей грани ABC и ACD.
3. Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D.
4. Найти угол между гранями ACB и ACD.
5. Найти угол между ребрами DC и DA.
6. Найти угол между ребром AD и гранью ABC.

Помогите решить.

Математика Колледж Геометрия в пространстве тетраэдр уравнение прямой уравнение плоскости высота тетраэдра угол между гранями угол между ребрами математика 12 класс Новый

Давайте решим поставленные задачи шаг за шагом.

1. Уравнение прямой AB и AC:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве, мы можем использовать параметрическое уравнение. Прямая, проходящая через точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), задается следующим образом:

• x = x1 + t * (x2 - x1)
• y = y1 + t * (y2 - y1)
• z = z1 + t * (z2 - z1)

Где t - параметр.

Для прямой AB:

• x = 2 + t * (4 - 2) = 2 + 2t
• y = 5 + t * (-6 - 5) = 5 - 11t
• z = -1 + t * (-3 + 1) = -1 - 2t

Итак, уравнение прямой AB:

x = 2 + 2t, y = 5 - 11t, z = -1 - 2t.

Теперь для прямой AC:

• x = 2 + t * (-7 - 2) = 2 - 9t
• y = 5 + t * (-9 - 5) = 5 - 14t
• z = -1 + t * (-2 + 1) = -1 - t

Итак, уравнение прямой AC:

x = 2 - 9t, y = 5 - 14t, z = -1 - t.

2. Уравнение плоскости, содержащей грани ABC и ACD:

Чтобы найти уравнение плоскости, содержащей три точки, мы можем использовать векторное произведение. Сначала найдем векторы AB и AC:

• AB = B - A = (4 - 2, -6 - 5, -3 + 1) = (2, -11, -2)
• AC = C - A = (-7 - 2, -9 - 5, -2 + 1) = (-9, -14, -1)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

• n = AB x AC = |i j k|
• |2 -11 -2|
• |-9 -14 -1|

Вычисляя это, мы получаем:

• n = ( (-11)*(-1) - (-2)*(-14), - (2*(-1) - (-2)*(-9)), 2*(-14) - (-11)*(-9) )

После вычислений, мы получаем нормальный вектор n. Уравнение плоскости будет иметь вид:

n1*(x - x0) + n2*(y - y0) + n3*(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты точки A.

3. Уравнение высоты, опущенной из вершины D:

Высота из точки D будет перпендикулярна плоскости ABC. Мы можем использовать нормальный вектор плоскости ABC, который мы нашли ранее, и координаты точки D для написания уравнения высоты:

n1*(x - xD) + n2*(y - yD) + n3*(z - zD) = 0.

4. Найти угол между гранями ACB и ACD:

Угол между двумя плоскостями можно найти через нормальные векторы этих плоскостей. Угол θ между нормальными векторами n1 и n2 можно найти по формуле:

cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|).

5. Найти угол между ребрами DC и DA:

Для нахождения угла между двумя векторами DC и DA, мы используем ту же формулу:

cos(φ) = (DC * DA) / (|DC| * |DA|).

6. Найти угол между ребром AD и гранью ABC:

Для нахождения угла между ребром AD и гранью ABC, мы можем использовать нормальный вектор плоскости ABC и вектор AD. Угол между вектором и плоскостью будет равен 90° - угол между вектором и нормальным вектором. Угол можно найти по формуле:

cos(ψ) = (AD * n) / (|AD| * |n|).

После выполнения всех вычислений, вы получите необходимые значения.