Как можно определить углы и длины сторон треугольника ABC, если известны координаты точек A(1;1;1), B(2;13;1) и C(14;1;1)?

Математика Колледж Геометрия в пространстве углы треугольника длины сторон треугольника координаты точек треугольник ABC математика 12 класс Новый

Чтобы определить углы и длины сторон треугольника ABC, используя координаты его вершин A(1;1;1), B(2;13;1) и C(14;1;1), мы можем следовать следующему алгоритму:

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника.

Длину стороны треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Если у нас есть две точки P(x1, y1, z1) и Q(x2, y2, z2), то расстояние d между ними рассчитывается по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

1. Длина стороны AB:

   Координаты A(1;1;1) и B(2;13;1).

   AB = √((2 - 1)² + (13 - 1)² + (1 - 1)²) = √(1² + 12² + 0²) = √(1 + 144) = √145.

2. Длина стороны BC:

   Координаты B(2;13;1) и C(14;1;1).

   BC = √((14 - 2)² + (1 - 13)² + (1 - 1)²) = √(12² + (-12)² + 0²) = √(144 + 144) = √288 = 12√2.

3. Длина стороны AC:

   Координаты A(1;1;1) и C(14;1;1).

   AC = √((14 - 1)² + (1 - 1)² + (1 - 1)²) = √(13² + 0² + 0²) = √169 = 13.

Шаг 2: Найдем углы треугольника.

Углы треугольника можно найти с помощью теоремы косинусов. Формула для нахождения угла A между сторонами b и c выглядит так:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc),

где a, b и c - длины сторон треугольника, и A - угол, противолежащий стороне a.

1. Угол A:

   Стороны BC = 12√2, AC = 13, AB = √145.

   cos(A) = ((12√2)² + 13² - (√145)²) / (2 * 12√2 * 13).

   cos(A) = (288 + 169 - 145) / (2 * 12√2 * 13) = 312 / (312√2) = 1/√2.

   Следовательно, угол A = 45°.

2. Угол B:

   Стороны AC = 13, AB = √145, BC = 12√2.

   cos(B) = (13² + (√145)² - (12√2)²) / (2 * 13 * √145).

   cos(B) = (169 + 145 - 288) / (2 * 13 * √145) = 26 / (26√145) = 1/√145.

   Следовательно, угол B ≈ 82.82°.

3. Угол C:

   Угол C можно найти, используя, что сумма углов треугольника равна 180°.

   Угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 45° - 82.82° ≈ 52.18°.

Итог:

Длины сторон треугольника:

• AB = √145
• BC = 12√2
• AC = 13

Углы треугольника:

• Угол A ≈ 45°
• Угол B ≈ 82.82°
• Угол C ≈ 52.18°