Чтобы найти высоту, опущенную на грань пирамиды ABCD, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

В данной пирамиде ABCD у нас есть вершины A, B, C и D. Мы можем выбрать любую грань, но для примера возьмем грань ABC. Эта грань образована тремя точками: A, B и C.

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки, мы можем использовать векторное произведение. Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (0,4,0) - (4,0,0) = (-4, 4, 0)
• Вектор AC = C - A = (0,0,4) - (4,0,0) = (-4, 0, 4)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• n = AB x AC = |i j k|
• | -4 4 0|
• | -4 0 4|

После вычисления определителя, мы получим нормальный вектор:

• n = (16, 16, 16)

Упростим нормальный вектор до (1, 1, 1) (разделим на 16).

Теперь уравнение плоскости можно записать как:

x + y + z = d

Чтобы найти d, подставим координаты одной из точек, например, точки A(4,0,0):

4 + 0 + 0 = d, значит d = 4.

Таким образом, уравнение плоскости ABC будет:

x + y + z = 4.

Теперь мы можем найти расстояние от точки D(8,8,8) до плоскости, используя формулу:

Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (x0, y0, z0) - координаты точки D, а A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости.

• Подставляем: A = 1, B = 1, C = 1, D = 4, (x0, y0, z0) = (8, 8, 8).
• Расстояние = |1*8 + 1*8 + 1*8 - 4| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)
• Расстояние = |8 + 8 + 8 - 4| / sqrt(3)
• Расстояние = |24 - 4| / sqrt(3) = 20 / sqrt(3).

Таким образом, высота, опущенная из точки D на грань ABC пирамиды ABCD, равна 20 / sqrt(3).