Какова высота, опущенная на грань пирамиды ABCD, если известны координаты вершин A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4) и D(8,8,8)?

Математика Колледж Геометрия в пространстве высота пирамиды координаты вершин пирамида ABCD математика 12 класс геометрия расстояние до грани аналитическая геометрия Новый

Чтобы найти высоту, опущенную на грань пирамиды ABCD, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение грани пирамиды

В данной пирамиде ABCD у нас есть вершины A, B, C и D. Мы можем выбрать любую грань, но для примера возьмем грань ABC. Эта грань образована тремя точками: A, B и C.

Шаг 2: Найдем уравнение плоскости ABC

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки, мы можем использовать векторное произведение. Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (0,4,0) - (4,0,0) = (-4, 4, 0)
• Вектор AC = C - A = (0,0,4) - (4,0,0) = (-4, 0, 4)

Теперь найдем векторное произведение AB и AC, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• n = AB x AC = |i j k|
• | -4 4 0|
• | -4 0 4|

После вычисления определителя, мы получим нормальный вектор:

• n = (16, 16, 16)

Упростим нормальный вектор до (1, 1, 1) (разделим на 16).

Теперь уравнение плоскости можно записать как:

x + y + z = d

Чтобы найти d, подставим координаты одной из точек, например, точки A(4,0,0):

4 + 0 + 0 = d, значит d = 4.

Таким образом, уравнение плоскости ABC будет:

x + y + z = 4.

Шаг 3: Найдем расстояние от точки D до плоскости ABC

Теперь мы можем найти расстояние от точки D(8,8,8) до плоскости, используя формулу:

Расстояние = |Ax0 + By0 + Cz0 - D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (x0, y0, z0) - координаты точки D, а A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости.

• Подставляем: A = 1, B = 1, C = 1, D = 4, (x0, y0, z0) = (8, 8, 8).
• Расстояние = |1*8 + 1*8 + 1*8 - 4| / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)
• Расстояние = |8 + 8 + 8 - 4| / sqrt(3)
• Расстояние = |24 - 4| / sqrt(3) = 20 / sqrt(3).

Шаг 4: Получаем окончательный ответ

Таким образом, высота, опущенная из точки D на грань ABC пирамиды ABCD, равна 20 / sqrt(3).