Как по координатам вершин пирамиды А1, А2, А3 и А4 найти следующее: 1) длины ребер А1 А2 и А1 А3, а также уравнения прямых А1 А2 и А1 А3; 2) уравнение медианы А3М грани А1 А2 А3; 3) угол между ребрами А1 А2 и А1 А3; 4) площадь грани А1 А2 А3; 5) объем пирамиды, если координаты вершин А1 А2 А3 А4 равны (-2;1;-1), (-3;1;3), (-4;2;-1), (-2;3;1)?

Математика Колледж Геометрия в пространстве координаты вершин пирамиды длины ребер пирамиды уравнения прямых уравнение медианы угол между ребрами площадь грани пирамиды объём пирамиды Новый

Давайте решим задачу по шагам, используя заданные координаты вершин пирамиды. Вершины пирамиды имеют следующие координаты:

• A1(-2; 1; -1)
• A2(-3; 1; 3)
• A3(-4; 2; -1)
• A4(-2; 3; 1)

1) Длину ребер A1A2 и A1A3, а также уравнения прямых A1A2 и A1A3:

Для нахождения длины отрезка между двумя точками в пространстве можно использовать формулу:

длина = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

Теперь найдем длины ребер:

• Длина A1A2:
• x1 = -2, y1 = 1, z1 = -1
• x2 = -3, y2 = 1, z2 = 3
• длина A1A2 = sqrt((-3 - (-2))² + (1 - 1)² + (3 - (-1))²) = sqrt(1² + 0² + 4²) = sqrt(1 + 0 + 16) = sqrt(17).
• Длина A1A3:
• x1 = -2, y1 = 1, z1 = -1
• x2 = -4, y2 = 2, z2 = -1
• длина A1A3 = sqrt((-4 - (-2))² + (2 - 1)² + (-1 - (-1))²) = sqrt((-2)² + 1² + 0²) = sqrt(4 + 1 + 0) = sqrt(5).

Теперь найдем уравнения прямых A1A2 и A1A3. Уравнение прямой в пространстве можно записать в параметрической форме:

• Для A1A2:
  • Параметр t: A(t) = A1 + t(A2 - A1)
  • A(t) = (-2, 1, -1) + t((-3 - (-2), 1 - 1, 3 - (-1))) = (-2, 1, -1) + t(-1, 0, 4).
  • Уравнение: x = -2 - t, y = 1, z = -1 + 4t.
• Для A1A3:
  • Параметр s: A(s) = A1 + s(A3 - A1)
  • A(s) = (-2, 1, -1) + s((-4 - (-2), 2 - 1, -1 - (-1))) = (-2, 1, -1) + s(-2, 1, 0).
  • Уравнение: x = -2 - 2s, y = 1 + s, z = -1.

2) Уравнение медианы A3M грани A1A2A3:

Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка A1A2:

• M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2) = ((-2 + (-3))/2, (1 + 1)/2, (-1 + 3)/2) = (-2.5, 1, 1).

Теперь найдем уравнение прямой A3M:

• Параметр u: A(u) = A3 + u(M - A3)
• A(u) = (-4, 2, -1) + u((-2.5 - (-4), 1 - 2, 1 - (-1))) = (-4, 2, -1) + u(1.5, -1, 2).
• Уравнение: x = -4 + 1.5u, y = 2 - u, z = -1 + 2u.

3) Угол между ребрами A1A2 и A1A3:

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(φ) = (A1A2 * A1A3) / (|A1A2| * |A1A3|).

Сначала найдем векторы A1A2 и A1A3:

• A1A2 = (-1, 0, 4)
• A1A3 = (-2, 1, 0)

Теперь найдем скалярное произведение:

A1A2 * A1A3 = (-1)*(-2) + 0*1 + 4*0 = 2.

Теперь найдем модуль векторов:

|A1A2| = sqrt(17), |A1A3| = sqrt(5).

Теперь подставим значения в формулу:

cos(φ) = 2 / (sqrt(17) * sqrt(5)).

Угол φ можно найти как φ = arccos(2 / (sqrt(17) * sqrt(5))).

4) Площадь грани A1A2A3:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |A1A2 x A1A3|, где x - векторное произведение.

Сначала найдем векторы:

• A1A2 = (-1, 0, 4)
• A1A3 = (-2, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение:

• A1A2 x A1A3 = |i j k|
• |-1 0 4|
• |-2 1 0|

Вычисляем определитель:

• i(0*0 - 4*1) - j(-1*0 - 4*(-2)) + k(-1*1 - 0*(-2)) = -4i + 8j - 1k.

Теперь найдем длину этого вектора:

|A1A2 x A1A3| = sqrt((-4)² + 8² + (-1)²) = sqrt(16 + 64 + 1) = sqrt(81) = 9.

Теперь подставим в формулу площади:

Площадь = 0.5 * 9 = 4.5.

5) Объем пирамиды:

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

В данном случае основание - это треугольник A1A2A3, а высота - это перпендикуляр от A4 на плоскость A1A2A3.

Площадь S мы уже нашли - это 4.5. Теперь нужно найти высоту h. Для этого найдем уравнение плоскости A1A2A3:

Уравнение плоскости можно найти по формуле: Ax + By + Cz + D = 0.

Используем векторы A1A2 и A1A3 для нахождения нормали:

• n = A1A2 x A1A3 = (-4, 8, -1).

Теперь подставим координаты A1 в уравнение плоскости:

-4*(-2) + 8*1 - 1*(-1) + D = 0, откуда D = -3.

Уравнение плоскости: -4x + 8y - z - 3 = 0.

Теперь найдем расстояние от точки A4 до этой плоскости:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A² + B² + C²), где (x0, y0, z0) - координаты точки A4.

Подставляем значения:

d = |-4*(-2) + 8*3 + 1*1 - 3| / sqrt((-4)² + 8² + (-1)²) = |8 + 24 + 1 - 3| / sqrt(81) = |30| / 9 = 10/3.

Теперь подставим в формулу объема:

V = (1/3) * 4.5 * (10/3) = 15/3 = 5.

Ответы:

• Длина A1A2 = sqrt(17), длина A1A3 = sqrt(5).
• Уравнения прямых A1A2: x = -2 - t, y = 1, z = -1 + 4t; A1A3: x = -2 - 2s, y = 1 + s, z = -1.
• Уравнение медианы A3M: x = -4 + 1.5u, y = 2 - u, z = -1 + 2u.
• Угол между A1A2 и A1A3: cos(φ) = 2 / (sqrt(17) * sqrt(5)).
• Площадь грани A1A2A3 = 4.5.
• Объем пирамиды = 5.