Давайте решим задачу по шагам, используя заданные координаты вершин пирамиды. Вершины пирамиды имеют следующие координаты:

• A1(-2; 1; -1)
• A2(-3; 1; 3)
• A3(-4; 2; -1)
• A4(-2; 3; 1)

1) Длину ребер A1A2 и A1A3, а также уравнения прямых A1A2 и A1A3:

Для нахождения длины отрезка между двумя точками в пространстве можно использовать формулу:

длина = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

Теперь найдем длины ребер:

• Длина A1A2:
• x1 = -2, y1 = 1, z1 = -1
• x2 = -3, y2 = 1, z2 = 3
• длина A1A2 = sqrt((-3 - (-2))² + (1 - 1)² + (3 - (-1))²) = sqrt(1² + 0² + 4²) = sqrt(1 + 0 + 16) = sqrt(17).
• Длина A1A3:
• x1 = -2, y1 = 1, z1 = -1
• x2 = -4, y2 = 2, z2 = -1
• длина A1A3 = sqrt((-4 - (-2))² + (2 - 1)² + (-1 - (-1))²) = sqrt((-2)² + 1² + 0²) = sqrt(4 + 1 + 0) = sqrt(5).

Теперь найдем уравнения прямых A1A2 и A1A3. Уравнение прямой в пространстве можно записать в параметрической форме:

• Для A1A2:
  • Параметр t: A(t) = A1 + t(A2 - A1)
  • A(t) = (-2, 1, -1) + t((-3 - (-2),1 - 1, 3 - (-1))) = (-2, 1, -1) + t(-1, 0, 4).
  • Уравнение: x = -2 - t, y = 1, z = -1 + 4t.
• Для A1A3:
  • Параметр s: A(s) = A1 + s(A3 - A1)
  • A(s) = (-2, 1, -1) + s((-4 - (-2),2 - 1, -1 - (-1))) = (-2, 1, -1) + s(-2, 1, 0).
  • Уравнение: x = -2 - 2s, y = 1 + s, z = -1.

2) Уравнение медианы A3M грани A1A2A3:

Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой отрезка A1A2:

• M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2) = ((-2 + (-3))/2, (1 + 1)/2, (-1 + 3)/2) = (-2.5, 1, 1).

Теперь найдем уравнение прямой A3M:

• Параметр u: A(u) = A3 + u(M - A3)
• A(u) = (-4, 2, -1) + u((-2.5 - (-4),1 - 2, 1 - (-1))) = (-4, 2, -1) + u(1.5, -1, 2).
• Уравнение: x = -4 + 1.5u, y = 2 - u, z = -1 + 2u.

3) Угол между ребрами A1A2 и A1A3:

Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения:

cos(φ) = (A1A2 * A1A3) / (|A1A2| * |A1A3|).

Сначала найдем векторы A1A2 и A1A3:

• A1A2 = (-1, 0, 4)
• A1A3 = (-2, 1, 0)

Теперь найдем скалярное произведение:

A1A2 * A1A3 = (-1)*(-2) + 0*1 + 4*0 = 2.

Теперь найдем модуль векторов:

|A1A2| = sqrt(17),|A1A3| = sqrt(5).

Теперь подставим значения в формулу:

cos(φ) = 2 / (sqrt(17) * sqrt(5)).

Угол φ можно найти как φ = arccos(2 / (sqrt(17) * sqrt(5))).

4) Площадь грани A1A2A3:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |A1A2 x A1A3|, где x - векторное произведение.

Сначала найдем векторы:

• A1A2 = (-1, 0, 4)
• A1A3 = (-2, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение:

• A1A2 x A1A3 = |i j k|
• |-1 0 4|
• |-2 1 0|

Вычисляем определитель:

• i(0*0 - 4*1) - j(-1*0 - 4*(-2)) + k(-1*1 - 0*(-2)) = -4i + 8j - 1k.

Теперь найдем длину этого вектора:

|A1A2 x A1A3| = sqrt((-4)² + 8² + (-1)²) = sqrt(16 + 64 + 1) = sqrt(81) = 9.

Теперь подставим в формулу площади:

Площадь = 0.5 * 9 = 4.5.

5) Объем пирамиды:

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

В данном случае основание - это треугольник A1A2A3, а высота - это перпендикуляр от A4 на плоскость A1A2A3.

Площадь S мы уже нашли - это 4.5. Теперь нужно найти высоту h. Для этого найдем уравнение плоскости A1A2A3:

Уравнение плоскости можно найти по формуле: Ax + By + Cz + D = 0.

Используем векторы A1A2 и A1A3 для нахождения нормали:

• n = A1A2 x A1A3 = (-4, 8, -1).

Теперь подставим координаты A1 в уравнение плоскости:

-4*(-2) + 8*1 - 1*(-1) + D = 0, откуда D = -3.

Уравнение плоскости: -4x + 8y - z - 3 = 0.

Теперь найдем расстояние от точки A4 до этой плоскости:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A² + B² + C²),где (x0, y0, z0) - координаты точки A4.

Подставляем значения:

d = |-4*(-2) + 8*3 + 1*1 - 3| / sqrt((-4)² + 8² + (-1)²) = |8 + 24 + 1 - 3| / sqrt(81) = |30| / 9 = 10/3.

Теперь подставим в формулу объема:

V = (1/3) * 4.5 * (10/3) = 15/3 = 5.

Ответы:

• Длина A1A2 = sqrt(17),длина A1A3 = sqrt(5).
• Уравнения прямых A1A2: x = -2 - t, y = 1, z = -1 + 4t; A1A3: x = -2 - 2s, y = 1 + s, z = -1.
• Уравнение медианы A3M: x = -4 + 1.5u, y = 2 - u, z = -1 + 2u.
• Угол между A1A2 и A1A3: cos(φ) = 2 / (sqrt(17) * sqrt(5)).
• Площадь грани A1A2A3 = 4.5.
• Объем пирамиды = 5.