Как можно получить общее решение уравнения y' + y * sin(2 * x) = 0?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения общее решение уравнение y' y * sin(2 * x) математика

Для решения уравнения y' + y * sin(2 * x) = 0 мы будем использовать метод разделения переменных. Давайте подробно рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

1. Перепишем уравнение: Сначала мы можем переписать уравнение в более удобной форме. Мы можем выразить производную y' через y:
• y' = -y * sin(2 * x)
2. Разделим переменные: Теперь мы можем разделить переменные, чтобы все члены с y были с одной стороны, а все члены с x - с другой:
• (1/y) dy = -sin(2 * x) dx
3. Интегрируем обе стороны: Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:
• ∫(1/y) dy = ∫-sin(2 * x) dx
4. Выполним интегрирование: Интеграл слева дает ln|y|, а интеграл справа требует немного больше внимания. Мы можем использовать подстановку для интегрирования:
• ∫-sin(2 * x) dx = (1/2)cos(2 * x) + C, где C - константа интегрирования.
5. Запишем результат интегрирования: После интегрирования мы получаем:
• ln|y| = (1/2)cos(2 * x) + C
6. Возведем в степень: Теперь мы можем избавиться от логарифма, возведя обе стороны в степень:
• |y| = e^((1/2)cos(2 * x) + C) = e^C * e^((1/2)cos(2 * x))
• Обозначим e^C как K (положительная константа), тогда:
• |y| = K * e^((1/2)cos(2 * x))
7. Учитываем знак: Поскольку мы имеем модуль y, мы можем записать общее решение в виде:
• y = ±K * e^((1/2)cos(2 * x))

Таким образом, общее решение уравнения y' + y * sin(2 * x) = 0 имеет вид:

y = ±K * e^((1/2)cos(2 * x)), где K - произвольная положительная константа.

Для решения дифференциального уравнения первого порядка вида y' + P(x)y = Q(x), в данном случае y' + y * sin(2 * x) = 0, мы можем использовать метод разделения переменных или метод интегрирующего множителя. В данном случае уравнение можно привести к более удобному виду.

Шаги решения:

1. Переписывание уравнения: Начнем с переписывания уравнения в стандартной форме:
• y' = -y * sin(2 * x)
2. Разделение переменных: Мы можем разделить переменные, то есть выразить y и x так, чтобы все y были с одной стороны, а все x - с другой:
• (1/y) dy = -sin(2x) dx
3. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:
• ∫(1/y) dy = ∫-sin(2x) dx
4. Решение интегралов: Результаты интегрирования будут следующими:
• ln|y| = (1/2)cos(2x) + C, где C - постоянная интегрирования.
5. Возвращение к y: Теперь мы можем выразить y через x:
• y = e^((1/2)cos(2x) + C) = e^C * e^((1/2)cos(2x)).
6. Обозначение постоянной: Обозначим e^C как K (постоянная), тогда общее решение уравнения можно записать как:
• y = K * e^((1/2)cos(2x)), где K - произвольная константа.

Таким образом, общее решение уравнения y' + y * sin(2 * x) = 0 имеет вид y = K * e^((1/2)cos(2x)), где K является произвольной постоянной. Это решение описывает семейство кривых, зависящих от значения K, что соответствует различным начальным условиям.