Как решить однородное уравнение: y² + x²y' = xyy'?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение однородного уравнения y² + x²y' xyy' математические методы Дифференциальные уравнения

Привет! Давай разберемся с этим однородным уравнением. Мы имеем уравнение:

y² + x²y' = xyy'

Для начала, давай немного упростим его. Мы можем переписать уравнение так:

y² = xyy' - x²y'

Теперь давай вынесем y' за скобки:

y² = y'(xy - x²)

Теперь, если y' не равно нулю, мы можем разделить обе стороны на (xy - x²):

y' = y² / (xy - x²)

Теперь у нас есть выражение для y'. Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Давай запишем это в виде:

dy/y² = dx/(xy - x²)

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Левая часть: ∫(1/y²) dy = -1/y
2. Правая часть: здесь нужно немного поработать с дробью. Можно разложить на простейшие дроби, если это необходимо.

После интегрирования, не забудь добавить константу интегрирования, и затем, если нужно, выразить y через x.

Если у тебя есть какие-то вопросы по шагам, просто дай знать! Удачи!

Для решения однородного уравнения, такого как y² + x²y' = xyy', начнем с того, что необходимо привести его к стандартному виду. Мы видим, что уравнение можно переписать, выделив производную y':

Шаг 1: Переписываем уравнение

• Исходное уравнение: y² + x²y' = xyy'
• Переносим все члены, содержащие y', в одну сторону: xyy' - x²y' = y²
• Факториализуем y': (xy - x²)y' = y²

Шаг 2: Выражаем y'

• Теперь можем выразить y': y' = y² / (xy - x²)

Шаг 3: Разделение переменных

• Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить методом разделения переменных:
• dy/dx = y² / (xy - x²)
• Переписываем уравнение так, чтобы все y были с одной стороны, а все x - с другой:
• (xy - x²) dy = y² dx

Шаг 4: Интегрирование

• Теперь интегрируем обе стороны:
• Интеграл левой части: ∫(xy - x²) dy
• Интеграл правой части: ∫y² dx

Шаг 5: Решение интегралов

• Интегрируем и получаем: (1/2)xy² - (1/3)x³ = (1/3)y³ + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Обратное преобразование

• Теперь можно попытаться выразить y через x, если это возможно, или оставить уравнение в явном виде.

Таким образом, мы получили общее решение данного однородного уравнения. Если у вас возникнут вопросы по конкретным шагам, не стесняйтесь спрашивать!