Как решить дифференциальное уравнение y' + 2xy = 2x * y ^ 2?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения y' + 2xy 2x * y ^ 2 математика 12 класс методы решения уравнений Новый

Ответ:

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

y' + 2xy = 2xy^2.

Пошаговое объяснение:

1. Сначала перепишем уравнение в более удобной форме. Переносим все члены, содержащие y, в одну сторону:

y' = 2xy^2 - 2xy.

2. Теперь мы можем выделить y. Заметим, что правую часть можно представить как:

y' = 2xy(y - 1).

3. Далее, мы можем использовать метод разделения переменных. Разделим переменные y и x:

dy / (y(y - 1)) = 2x dx.

4. Теперь интегрируем обе стороны. Сначала интегрируем левую часть:

• Для интегрирования 1/(y(y - 1)) используем метод разложения на простейшие дроби:
• 1/(y(y - 1)) = A/y + B/(y - 1).
• Решая это уравнение, мы находим A = 1 и B = -1. Таким образом, мы можем записать:
• 1/(y(y - 1)) = 1/(y - 1) - 1/y.

5. Интегрируем:

∫(1/(y - 1) - 1/y) dy = ∫2x dx.

Это дает:

ln|y - 1| - ln|y| = x^2 + C, где C - произвольная константа.

6. Используем свойства логарифмов:

ln|(y - 1)/y| = x^2 + C.

7. Преобразуем это уравнение:

(y - 1)/y = e^(x^2 + C) = e^C * e^(x^2).

8. Обозначим e^C как K (новая произвольная константа):

(y - 1)/y = K * e^(x^2).

9. Переписываем это уравнение для y:

y - 1 = K * e^(x^2) * y.

y(1 - K * e^(x^2)) = 1.

y = 1 / (1 - K * e^(x^2)).

Итак, окончательный ответ:

y = 1 / (1 - K * e^(x^2)), где K - произвольная константа.

Таким образом, мы получили решение данного дифференциального уравнения. Это решение может быть использовано для дальнейшего анализа поведения функции y в зависимости от переменной x.