y'' - 2y' + 10y = 0
Помогите, пожалуйста, решить это уравнение.

Математика Колледж Дифференциальные уравнения уравнение решение математика Дифференциальное уравнение y'' - 2y' + 10y = 0 Новый

Для решения данного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, необходимо следовать определённым шагам. Уравнение имеет вид:

y'' - 2y' + 10y = 0

Шаг 1: Определение характеристического уравнения.

Для начала, мы заменим производные на переменные, используя следующие обозначения:

• y'' - вторая производная функции y по времени;
• y' - первая производная функции y по времени;
• y - функция, которую мы ищем.

Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:

r^2 - 2r + 10 = 0

Шаг 2: Решение характеристического уравнения.

Для нахождения корней данного квадратного уравнения, воспользуемся формулой корней:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -2, c = 10. Подставим значения в формулу:

r = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * 10)) / (2 * 1)

r = (2 ± √(4 - 40)) / 2

r = (2 ± √(-36)) / 2

r = (2 ± 6i) / 2

r = 1 ± 3i

Шаг 3: Запись общего решения.

Корни характеристического уравнения имеют вид 1 ± 3i, что означает, что они являются комплексными. В таком случае общее решение уравнения будет иметь вид:

y(t) = e^(αt)(C1 * cos(βt) + C2 * sin(βt))

где:

• α - действительная часть корня (в нашем случае α = 1);
• β - мнимая часть корня (в нашем случае β = 3);
• C1 и C2 - произвольные константы, определяемые начальными условиями.

Таким образом, общее решение нашего уравнения имеет вид:

y(t) = e^(1t)(C1 * cos(3t) + C2 * sin(3t))

Шаг 4: Заключение.

Мы получили общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Для конкретного решения необходимо знать начальные условия, которые позволят определить значения констант C1 и C2.