Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 4y'' - 8y' + 3y = 0?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения уравнение решение математическое уравнение Дифференциальное уравнение 4y'' 8y' 3y математика 12 класс Новый

Давайте решим данное дифференциальное уравнение второго порядка:

Уравнение: 4y'' - 8y' + 3y = 0

Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Для его решения мы можем использовать метод характеристического уравнения.

Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение.

Мы предполагаем, что решение имеет вид y = e^(rt), где r - корень характеристического уравнения. Подставим это в уравнение:

• y' = re^(rt)
• y'' = r^2e^(rt)

Подставляем y, y' и y'' в исходное уравнение:

4(r^2e^(rt)) - 8(re^(rt)) + 3(e^(rt)) = 0

Факторизуем e^(rt):

e^(rt)(4r^2 - 8r + 3) = 0

Так как e^(rt) никогда не равно нулю, мы можем упростить уравнение до:

4r^2 - 8r + 3 = 0

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения.

Используем формулу для решения квадратного уравнения:

r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 4, b = -8, c = 3.

Подставляем значения:

• b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16
• Теперь находим r:
• r = (8 ± √16) / (2 * 4) = (8 ± 4) / 8

Таким образом, у нас есть два корня:

• r1 = (8 + 4) / 8 = 12 / 8 = 1.5
• r2 = (8 - 4) / 8 = 4 / 8 = 0.5

Шаг 3: Запишем общее решение уравнения.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

где C1 и C2 - произвольные константы.

Подставим найденные корни:

y(t) = C1 * e^(1.5t) + C2 * e^(0.5t).

Шаг 4: Заключение.

Таким образом, общее решение уравнения 4y'' - 8y' + 3y = 0 имеет вид:

y(t) = C1 * e^(1.5t) + C2 * e^(0.5t),

где C1 и C2 - произвольные константы, которые можно определить, если известны начальные условия.