Как можно решить следующие интегралы: 8.1.9. x + x² - 6x dx, 8.1.10 fr², 8.1.11.√√(x² + 1) dx, 8.1.13 (23+2)² dr. dx. √x, 8.1.12. 3. dx. ((2-*-*7)+ 3+√√4-x² dx, 8.1.14 (4 sinz+82-) dz, 8.1.15. Как найти «почти табличный» интеграл?

Математика Колледж Интегралы и интегральное исчисление интегралы решение интегралов математические задачи интегралы примеры интегралы с корнями интегралы с синусом почти табличный интеграл математический анализ методы интегрирования учебник по математике Новый

Давайте рассмотрим каждый из заданных интегралов по отдельности и разберем, как их можно решить. Начнем с интеграла 8.1.9.

8.1.9. Интеграл x + x² - 6x dx

Для решения этого интеграла сначала упростим выражение под знаком интеграла:

• x + x² - 6x = x² - 5x.

Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:

• Интеграл x² dx = (1/3)x³ + C1, где C1 - произвольная константа.
• Интеграл -5x dx = -5 * (1/2)x² + C2 = - (5/2)x² + C2, где C2 - произвольная константа.

Теперь объединим результаты:

∫(x² - 5x) dx = (1/3)x³ - (5/2)x² + C.

8.1.10. Интеграл fr²

Похоже, здесь опечатка. Если это интеграл от функции f(r²), то его решение зависит от конкретной функции f. Если f - это простая функция, например, f(x) = x, то интеграл будет выглядеть так:

∫r² dr = (1/3)r³ + C.

8.1.11. Интеграл √(x² + 1) dx

Для этого интеграла можно использовать тригонометрическую подстановку. Положим x = tan(θ), тогда dx = sec²(θ) dθ и √(x² + 1) = √(tan²(θ) + 1) = sec(θ). Таким образом, интеграл станет:

∫√(x² + 1) dx = ∫sec(θ) * sec²(θ) dθ = ∫sec³(θ) dθ.

Интеграл sec³(θ) можно решить через формулу, и в результате мы получим:

∫sec³(θ) dθ = (1/2)(sec(θ)tan(θ) + ln|sec(θ) + tan(θ)|) + C.

После подстановки обратно получаем ответ в терминах x.

8.1.12. Интеграл 3 * ((2 - 7) + 3 + √(4 - x²)) dx

Сначала упростим выражение: 2 - 7 + 3 = -2, тогда интеграл станет:

∫(3 * (-2 + √(4 - x²))) dx = ∫(-6 + 3√(4 - x²)) dx.

Интегрируем по частям:

• ∫(-6) dx = -6x + C1.
• Для ∫(3√(4 - x²)) dx используем тригонометрическую подстановку.

После интегрирования получаем полный ответ.

8.1.13. Интеграл (23 + 2)² dr dx √x

Здесь также есть некоторая путаница с переменными. Если это интеграл от функции, то нужно уточнить, что именно мы интегрируем. Например, если это просто константа, то интеграл будет равен:

∫(25) dx = 25x + C.

8.1.14. Интеграл (4 sin(z) + 82) dz

Этот интеграл можно решить по частям:

• ∫(4 sin(z)) dz = -4 cos(z) + C1.
• ∫(82) dz = 82z + C2.

Объединим результаты:

∫(4 sin(z) + 82) dz = -4 cos(z) + 82z + C.

8.1.15. Как найти «почти табличный» интеграл?

«Почти табличный» интеграл - это интеграл, который можно решить с помощью известной таблицы интегралов, но требует небольшой модификации. Чтобы решить такой интеграл, следуйте этим шагам:

1. Попробуйте упростить интеграл, вынося константы или используя алгебраические преобразования.
2. Если интеграл не совсем подходит под табличный, попробуйте использовать подстановку или интегрирование по частям.
3. Сравните полученное выражение с известными формулами в таблицах интегралов.
4. Если все равно не удается решить, попробуйте численные методы или специальные функции.