Как можно вычислить интеграл от натурального логарифма?

Математика Колледж Интегралы и интегральное исчисление вычисление интеграла интеграл натурального логарифма математика 12 класс методы интегрирования интегралы в математике Новый

Вычисление интеграла от натурального логарифма может показаться сложной задачей, но с помощью интегрирования по частям мы можем упростить этот процесс. Давайте рассмотрим, как это сделать шаг за шагом.

Рассмотрим интеграл:

∫ ln(x) dx

Для применения метода интегрирования по частям, нам необходимо выбрать две функции:

• u = ln(x) (функция, которую мы будем дифференцировать)
• dv = dx (функция, которую мы будем интегрировать)

Теперь найдем производную и интеграл:

• du = (1/x) dx (производная ln(x))
• v = x (интеграл от dx)

Теперь можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Подставим найденные значения в формулу:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - ∫ x * (1/x) dx

Упрощаем второй интеграл:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - ∫ 1 dx

Теперь вычисляем интеграл от 1:

∫ 1 dx = x

Подставим это обратно в уравнение:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ для интеграла от натурального логарифма:

∫ ln(x) dx = x * ln(x) - x + C

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как вычислить интеграл от натурального логарифма!