Как найти интеграл функции 9 в степени x, умноженной на x, dx?

Математика Колледж Интегралы и интегральное исчисление интеграл функции интеграл 9 в степени x интеграл x dx методы интегрирования решение интеграла математический анализ интегралы в математике Новый

Чтобы найти интеграл функции 9 в степени x, умноженной на x, dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям. Давайте рассмотрим шаги решения этого интеграла.

Интеграл, который мы хотим вычислить, можно записать следующим образом:

∫ x * 9^x dx

Для применения метода интегрирования по частям нам нужно выбрать две функции:

• u = x (функция, которую мы будем дифференцировать)
• dv = 9^x dx (функция, которую мы будем интегрировать)

Теперь найдем производную u и интеграл dv:

• du = dx
• v = ∫ 9^x dx

Чтобы найти v, мы используем формулу для интеграла экспоненциальной функции:

∫ a^x dx = (a^x / ln(a)) + C

В нашем случае a = 9, поэтому:

v = (9^x / ln(9))

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = u*v - ∫ v du

Подставим найденные значения:

∫ x * 9^x dx = x * (9^x / ln(9)) - ∫ (9^x / ln(9)) dx

Теперь упростим выражение:

∫ x * 9^x dx = (x * 9^x) / ln(9) - (1 / ln(9)) ∫ 9^x dx

Мы уже нашли интеграл 9^x, который равен (9^x / ln(9)). Подставим это значение:

∫ x * 9^x dx = (x * 9^x) / ln(9) - (1 / ln(9)) * (9^x / ln(9)) + C

Теперь объединим все части:

∫ x * 9^x dx = (x * 9^x) / ln(9) - (9^x / (ln(9))^2) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл функции 9 в степени x, умноженной на x, dx:

∫ x * 9^x dx = (x * 9^x) / ln(9) - (9^x / (ln(9))^2) + C