Похожие вопросы
2025-08-30 08:10:07
Какой предел функции lim_{x → [infinity]} ((3x+1)/(3x))^x?
Математика Колледж Пределы функций предел функции lim x → infinity (3x+1)/(3x) x в степени x
2025-08-30 08:10:16
Чтобы найти предел функции limx → ∞ ((3x + 1)/(3x))x, давайте сначала упростим выражение внутри предела.
Мы можем переписать дробь:
- ((3x + 1)/(3x)) = (3x/3x + 1/3x) = (1 + 1/(3x)).
Теперь подставим это в предел:
limx → ∞ ((1 + 1/(3x)))xСледующий шаг — использовать известный предел, который гласит, что:
limx → ∞ (1 + 1/n)n = e.В данном случае, чтобы использовать этот предел, мы можем заметить, что n = 3x. Тогда мы можем выразить x через n:
- n = 3x → x = n/3.
Теперь, когда x стремится к бесконечности, n также стремится к бесконечности. Подставим это в наш предел:
limn → ∞ (1 + 1/n)n/3Мы можем переписать это выражение:
limn → ∞ ((1 + 1/n)n)1/3Теперь, согласно нашему известному пределу, мы знаем, что:
limn → ∞ (1 + 1/n)n = e.Таким образом, мы можем подставить это значение в наш предел:
limn → ∞ (1 + 1/n)n/3 = e1/3.Итак, окончательный ответ:
limx → ∞ ((3x + 1)/(3x))x = e1/3.