Чтобы вычислить интеграл ∫ (t / (t² + 25)^(5/2)) dt, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Выбор подстановки: Мы видим, что в нашем интеграле присутствует выражение t² + 25. Это подсказывает нам, что мы можем использовать подстановку, основанную на этом выражении. Пусть u = t² + 25. Тогда производная u будет:
• du/dt = 2t,
• что означает, что dt = du / (2t).
2. Замена переменных: Теперь мы можем заменить t и dt в нашем интеграле. Мы заметим, что t = √(u - 25). Подставим это в интеграл:
• ∫ (t / (t² + 25)^(5/2)) dt = ∫ (t / (u)^(5/2)) (du / (2t)) = (1/2) ∫ (1 / u^(5/2)) du.
3. Вычисление интеграла: Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫ (1 / u^(5/2)) du. Это можно сделать с использованием стандартной формулы для интеграла:
• ∫ u^n du = (u^(n+1)) / (n+1) + C, при n ≠ -1.
4. Применение формулы: В нашем случае n = -5/2, поэтому:
• ∫ (1 / u^(5/2)) du = (u^(-3/2)) / (-3/2) + C = - (2 / 3) u^(-3/2) + C.
5. Обратная подстановка: Теперь нам нужно вернуть u в исходное выражение. Мы знаем, что u = t² + 25, поэтому:
• - (2 / 3) (t² + 25)^(-3/2) + C.
6. Итоговый ответ: Таким образом, окончательный ответ на интеграл будет:
• ∫ (t / (t² + 25)^(5/2)) dt = - (2 / 3) (t² + 25)^(-3/2) + C.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!