Уравнение окружности

ВведениеВ алгебре и геометрии уравнение окружности является важным инструментом для описания геометрических фигур. В этом учебном материале мы рассмотрим основные понятия, связанные с уравнением окружности, и научимся его применять.

Основные определенияОкружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, которая называется центром окружности. Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на окружности.

Уравнение окружности можно записать в виде:(x – a)² + (y – b)² = r²,где (a, b) — координаты центра окружности, а r — радиус окружности. Это уравнение описывает окружность с центром в точке (a, b) и радиусом r.

Для того чтобы понять, как работает уравнение окружности, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1:Пусть дана окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 5. Тогда уравнение этой окружности будет иметь вид:(x – 2)² + (y – 3)² = 5².Это уравнение можно упростить, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 25.После упрощения получаем:x² + y² – 4x – 6y = 0.Это и есть уравнение окружности с заданными параметрами.

Пример 2:Рассмотрим окружность, центр которой находится в начале координат (0, 0), а радиус равен 7. Уравнение такой окружности будет выглядеть следующим образом:x² + y² = 49.Это уравнение также можно упростить:x² + y² = (7²)².Таким образом, мы получили уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 7.

Решение задач с использованием уравнения окружностиТеперь, когда мы знаем, как выглядит уравнение окружности, давайте попробуем решить несколько задач.Задача 1:Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:x² + (y – 5)² = 16.Решение:Раскроем скобки в левой части уравнения:x² + y² – 10y + 25 = 16.Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные:x² + y² – 10y + 25 – 16 = 0;x² + y² – 10y + 9 = 0.Получили уравнение окружности вида:(x – a)² + (y – b)².Сравним коэффициенты при x² и y² с коэффициентами общего вида уравнения окружности:a = 0,b = 5,r² = 9.Ответ: координаты центра (0, 5), радиус 3.

Задача 2:Определить, принадлежит ли точка (–3, –4) окружности, заданной уравнением x² + y² = 81.Решение:Подставим координаты точки в уравнение окружности:((–3)²) + ((–4)²) = 9 + 16 = 25 ≠ 81.Точка не принадлежит окружности.Ответ: точка не принадлежит окружности.

ЗаключениеУравнение окружности является мощным инструментом для работы с геометрическими фигурами. Оно позволяет описывать окружности различных размеров и положений на плоскости. Важно понимать, что уравнение окружности может быть записано в разных формах, но все они описывают одну и ту же геометрическую фигуру.