Свойства степеней

Степень с натуральным показателем — это выражение вида $a^n$, где $a$ — основание степени, а $n$ — показатель степени.

В данном учебном материале мы рассмотрим основные свойства степеней, которые используются в алгебре и геометрии. Эти свойства помогут вам упростить вычисления и решить задачи более эффективно.

Основные свойства степеней:

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: если $a$ и $b$ — положительные числа, а $m$ и $n$ — натуральные числа, то справедливо равенство: $(ab)^n = a^nb^n$.
2. Деление степеней с одинаковыми основаниями: для любых положительных чисел $a$ и $b$, а также натуральных чисел $m$ и $n$, верно равенство: $\frac{a^m}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
3. Возведение степени в степень: для любого положительного числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство: $(a^m)^n=a^{mn}$.
4. Степень произведения: для любых двух положительных чисел $a$ и $b$ и натурального числа $n$ верно равенство: $(ab)^n=a^nb^n$. Это свойство можно обобщить на любое количество множителей.
5. Степень частного: для любых двух положительных чисел $a$ и $b$, таких что $b \neq 0$, и натурального числа $n$ справедливо равенство: $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
6. Свойство нуля: $0^0$ не определён.
7. Свойство единицы: $1^n=1$ для любого натурального числа $n$.
8. Отрицательный показатель степени: для любого числа $a$, отличного от нуля, и любого целого отрицательного числа $-n$ верно: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
9. Положительный дробный показатель степени: для любого положительного числа $a$ и любого рационального числа $r$ справедливо: $a^r=\sqrt[n]{a^r}$, где $n$ – это знаменатель дроби $r$.

Эти свойства степеней могут быть использованы для упрощения вычислений и решения задач. Они являются основой для многих алгебраических и геометрических операций.

Рассмотрим несколько примеров использования свойств степеней:

• Пример 1: Упростить выражение $(3x^2y)^3$.Решение: Используя свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями, получаем: $(3x^2y)^3=3^3(x^2)^3y^3=27x^6y^3$.

Пример 2: Решить уравнение $x^4=64$.Решение: Преобразуем уравнение, используя свойство возведения степени в степень: $(x^2)^2=64$, откуда $x^2=8$. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$. Ответ: $x_1=-2\sqrt{2}, x_2=2\sqrt{2}$

Важно отметить, что свойства степеней применимы только к положительным числам. При работе с отрицательными числами необходимо учитывать особенности их свойств.

Также стоит обратить внимание на то, что при использовании свойств степеней необходимо соблюдать порядок выполнения действий. Например, при умножении степеней сначала нужно выполнить возведение в степень, а затем умножить полученные результаты.

Знание свойств степеней позволяет упростить многие алгебраические и геометрические задачи. В дальнейшем мы будем использовать эти свойства при изучении других тем алгебры и геометрии.