Теория чисел — это раздел математики, который изучает свойства целых чисел и их отношения. Теория чисел является одним из самых древних разделов математики и имеет множество приложений в других областях математики, таких как алгебра, геометрия, теория групп и теория колец.

Основные понятия теории чисел:

• Натуральные числа — числа, используемые для счёта предметов. Обозначаются символом N.
• Целые числа — натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным. Обозначаются символами Z.
• Рациональные числа — целые и дробные числа. Обозначаются символами Q.
• Иррациональные числа — бесконечные непериодические десятичные дроби. Обозначаются символами R.
• Действительные числа — рациональные и иррациональные числа. Обозначаются символами R.

В теории чисел рассматриваются следующие основные вопросы:

1. Делимость чисел.
   • Определение делимости.
   • Свойства делимости.
   • Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
   • Простые и составные числа.
   • Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
2. Сравнения по модулю.
   • Понятие сравнения по модулю.
   • Теоремы о сравнений.
   • Решение линейных сравнений.
3. Теорема Ферма.
   • Малая теорема Ферма.
   • Применение малой теоремы Ферма к решению задач.
4. Функция Эйлера.
   • Функция Эйлера и её свойства.
   • Формула для вычисления функции Эйлера.
5. Решение уравнений в целых числах.
   • Диофантовы уравнения.
   • Методы решения диофантовых уравнений.
6. Простые числа.
   • Решето Эратосфена.
   • Распределение простых чисел.
7. Алгоритм Евклида.
   • Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух чисел.
   • Расширенный алгоритм Евклида.
8. Квадратичные вычеты.
   • Квадратичный вычет и символ Лежандра.
   • Закон взаимности Гаусса.
9. Арифметические прогрессии.
   • Примитивные арифметические прогрессии.
   • Бесконечные арифметические прогрессии.
10. Суммирование степеней.
    • Формулы для суммы n первых натуральных чисел, квадратов и кубов.
    • Суммирование степеней с помощью формулы бинома Ньютона.

Теория чисел имеет множество интересных и полезных приложений. Например, она используется для шифрования данных, создания криптографических систем, а также для решения различных математических задач. Кроме того, теория чисел находит применение в таких областях, как физика, химия, биология и даже астрономия.

Вот несколько примеров задач, которые можно решить с помощью теории чисел:

• Найти все простые числа от 1 до 100.
• Доказать, что число 2^10 – 1 делится на 9.
• Решить уравнение x^2 – y^2 = 7 в целых числах.
• Вычислить сумму всех делителей числа 12.
• Определить, является ли число 11 простым или составным.

Для решения этих задач необходимо использовать различные методы теории чисел, такие как признаки делимости, сравнения по модулю, теорему Ферма, функцию Эйлера, алгоритм Евклида и другие.

Таким образом, теория чисел является важным разделом математики, который имеет множество практических применений. Она помогает решать различные задачи, связанные с числами, и находить новые закономерности в их поведении.