Сложение и вычитание рациональных чисел — это одна из основополагающих тем в алгебре, которая играет важную роль в математике и в повседневной жизни. Рациональные числа — это числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Например, числа 1/2, -3/4 и 5 являются рациональными. Важно понимать, как правильно складывать и вычитать такие числа, так как это умение необходимо для решения более сложных задач.

Для начала, давайте разберемся с сложением рациональных чисел. Сложение рациональных чисел можно проводить как с одинаковыми, так и с разными знаменателями. Если у нас есть два числа с одинаковыми знаменателями, например, 1/4 и 2/4, то мы просто складываем числители, а знаменатель оставляем прежним. В нашем примере получится:

• 1/4 + 2/4 = (1 + 2)/4 = 3/4.

Если же знаменатели разные, например, 1/3 и 1/6, то нам необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 равен 6. Теперь мы можем переписать дроби:

• 1/3 = 2/6 (умножаем числитель и знаменатель на 2);
• 1/6 остается без изменений.

Теперь мы можем сложить дроби:

• 2/6 + 1/6 = (2 + 1)/6 = 3/6.

После этого мы можем упростить дробь, если это возможно. В данном случае 3/6 можно сократить до 1/2. Таким образом, 1/3 + 1/6 = 1/2.

Теперь перейдем к вычитанию рациональных чисел. Вычитание выполняется аналогично сложению. Если у нас есть два числа с одинаковыми знаменателями, например, 3/4 и 1/4, то мы вычитаем числители:

• 3/4 - 1/4 = (3 - 1)/4 = 2/4 = 1/2.

Когда знаменатели разные, например, 1/2 и 1/3, мы опять же приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 3 равен 6:

• 1/2 = 3/6 (умножаем числитель и знаменатель на 3);
• 1/3 = 2/6 (умножаем числитель и знаменатель на 2).

Теперь мы можем выполнить вычитание:

• 3/6 - 2/6 = (3 - 2)/6 = 1/6.

Таким образом, 1/2 - 1/3 = 1/6.

Теперь, когда мы разобрались с основами сложения и вычитания рациональных чисел, важно отметить, что работа с отрицательными числами также является частью этой темы. Например, если мы складываем отрицательное рациональное число, то это можно рассматривать как вычитание положительного числа. Рассмотрим пример: -1/4 + 1/2. Сначала приведем дроби к общему знаменателю:

• -1/4 = -2/8 (умножаем числитель и знаменатель на 2);
• 1/2 = 4/8 (умножаем числитель и знаменатель на 4).

Теперь сложим дроби:

• -2/8 + 4/8 = (-2 + 4)/8 = 2/8 = 1/4.

Таким образом, -1/4 + 1/2 = 1/4.

Важно также запомнить, что при вычитании отрицательных чисел мы фактически выполняем сложение. Например, 3/4 - (-1/4) можно переписать как 3/4 + 1/4. Это упростит процесс вычисления:

• 3/4 + 1/4 = (3 + 1)/4 = 4/4 = 1.

Наконец, стоит отметить, что при работе с рациональными числами необходимо быть внимательными к знакам и всегда проверять свои вычисления. Это поможет избежать ошибок и недоразумений. Также полезно делать записи промежуточных шагов, чтобы легче было отслеживать процесс решения задачи.

В заключение, сложение и вычитание рациональных чисел — это важный навык, который пригодится вам не только в учебе, но и в повседневной жизни. Понимание основ работы с дробями и знаками поможет вам уверенно решать более сложные задачи в будущем. Практикуйтесь, решайте задачи и не бойтесь ошибаться — это часть обучения!