Линейная функция: понятие и свойства

Линейная функция — это одна из самых простых функций в алгебре. Она описывается уравнением вида y = kx + b, где x — независимая переменная (аргумент), y — зависимая переменная (функция), k и b — коэффициенты.

Коэффициент k называется угловым коэффициентом и отвечает за угол наклона прямой к оси абсцисс (оси x). Если k > 0, то график функции будет возрастать, а если k < 0 — убывать. Коэффициент b называется свободным членом и отвечает за смещение графика функции относительно оси ординат (оси y).

График линейной функции представляет собой прямую линию. Для построения графика достаточно найти две точки, через которые проходит прямая.

Примеры линейных функций

1. y = 2x + 3. Это функция с угловым коэффициентом k = 2 и свободным членом b = 3. График функции будет проходить через точку (0; 3) и иметь угол наклона 45 градусов.

2. y = -x + 5. Это функция с k = -1 и b = 5. График функции будет убывать и проходить через точку (0; 5).

3. y = x. Это частный случай линейной функции, когда k = 1 и b = 0. График функции — прямая, проходящая через начало координат.

4. y = -3x. Это линейная функция с k = -3 и b = 0. График функции убывает и проходит через начало координат.

Пример:

Построить график функции y = 4x - 2.

Решение:

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек, через которые будет проходить прямая. Возьмём x = 0 и x = 1. Подставляя значения в уравнение, получаем:

• x = 0: *y = 4 0 - 2 = -2. Точка (0; -2)**.
• x = 1: *y = 4 1 - 2 = 2. Точка (1; 2)**.

Теперь можно построить график функции. Это будет прямая, проходящая через точки (0; -2) и (1; 2).

Важно понимать, что линейная функция может быть представлена в разных формах. Например, уравнение y = 3x - 5 можно переписать в виде y - 3x = -5 или 3x - y = 5. Все эти уравнения описывают одну и ту же прямую, но с разными коэффициентами.

Линейная функция имеет ряд свойств, которые позволяют упростить её анализ и построение графика.

1. Если k = 0, то функция y = b превращается в прямую, параллельную оси абсцисс.

2. Если b = 0, то уравнение принимает вид y = kx, и график функции проходит через начало координат.

3. Если x = a, то y = ka + b. То есть значение функции в точке x = a равно ka + b.

4. Если y = c, то x = (c - b) / k. То есть точка пересечения графика функции с осью абсцисс находится на расстоянии (c - b) / k от начала координат.

Эти свойства позволяют легко анализировать и строить графики линейных функций.

В заключение можно сказать, что линейная функция — это одна из основных функций в алгебре, которая находит широкое применение в различных областях науки и техники. Её простота и удобство в использовании делают её незаменимым инструментом для решения многих задач.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое линейная функция?

2. Как построить график линейной функции?

3. Какие свойства имеет линейная функция?