Действия с алгебраическими дробями

Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. В числителе и знаменателе могут быть как переменные, так и числа.

В этом учебном материале мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции помогут вам решать задачи и уравнения, а также упрощать выражения.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель без изменений. Например:

$\frac{3x^2}{5} + \frac{4x^2}{5} = \frac{7x^2}{5}$

$\frac{5x}{6} - \frac{2x}{6} = \frac{x}{2}$

Если знаменатели разные, то сначала нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Затем нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель. После этого можно складывать или вычитать числители.

Например:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$

Умножение и деление алгебраических дробей

Для умножения двух дробей нужно перемножить их числители и знаменатели. Например:

$\frac{2x}{3} \frac{3y}{4} = \frac{(23)(xy)}{(34)} = \frac{xy}{2}$

При делении одной дроби на другую нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Например:

$\frac{3}{4}: \frac{5}{6} = \frac{3}{4} * \frac{6}{5} = \frac{9}{10}$

Обратите внимание, что при умножении и делении дробей могут возникнуть сократимые дроби. Это значит, что числитель и знаменатель можно сократить на общий делитель. Например:

$\frac{8x}{12} * \frac{3y}{9} = \frac{2xy}{3}$

Также при умножении дробей может произойти сокращение на переменную. Например:

$\frac{a}{b} * \frac{c}{a} = \frac{ac}{ab} = \frac{c}{b}$

Важно помнить, что при выполнении действий с алгебраическими дробями нужно соблюдать порядок выполнения операций. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ), чтобы избежать деления на ноль.

Вот несколько примеров задач на действия с алгебраическими дробями для закрепления материала:

1. Выполните сложение: $\frac{x+2}{x-3} + \frac{x-1}{x+3}$.

Решение: Приведём дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$. Получим:

$\frac{(x+2)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^2} + \frac{-x^2-2x+7}{(x+3)^2}$

2. Выполните умножение: $\frac{2x-5}{x} * \frac{x+1}{x-2}$.

Решение: Перемножим числители и знаменатели:

$(2x-5)(x+1) = 2x^2 - x - 5x + 5$

$(x)(x-2) = x^2 - 2x$

Получим: $\frac{2x^2 - 6x + 5}{x^2 - 2x}$

3. Выполните деление: $\frac{x^2 + 3x - 10}{x-4}: \frac{x+5}{x-4}$.

Решение: Умножим первую дробь на обратную ко второй:

$\frac{x^2 + 3x - 10}{x-4} * \frac{x-4}{x+5} = \frac{(x^2 + 3x - 10)(x-4)}{(x-4)(x+5)} = \frac{x^3 - 4x^2 + x + 12}{x+5}$