График функции. Алгебра, 8 класс
ВведениеВ алгебре функция — это зависимость одной переменной от другой. График функции — это наглядное представление этой зависимости в виде линии или кривой на плоскости. В этом уроке мы рассмотрим основные понятия и свойства графиков функций, а также научимся строить графики различных функций.
Основные понятия
- Функция. Функция — это правило, которое каждому значению независимой переменной (аргумента) ставит в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции). Например, функция $y = x^2$ каждому значению $x$ ставит в соответствие значение $y$, равное квадрату этого значения.
- Область определения функции. Область определения функции — это множество значений аргумента, при которых функция определена. Например, для функции $y = \sqrt{x}$ область определения — все неотрицательные числа.
- Множество значений функции. Множество значений функции — это все значения, которые принимает функция при всех возможных значениях аргумента. Например, для функции $y = sin(x)$ множество значений — все действительные числа от -1 до 1.
- График функции. График функции — это линия или кривая, которая показывает зависимость между аргументом и функцией. Для построения графика функции необходимо задать значения аргумента и вычислить соответствующие значения функции. Затем построить точки с координатами $(x, y)$, где $x$ — значение аргумента, $y$ — соответствующее значение функции. После этого соединить эти точки линией.
Свойства графиков функцийГрафики функций могут иметь различные свойства, такие как:
- Монотонность. Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
- Периодичность. Функция называется периодической, если существует число $T$, такое что $f(x + T) = f(x)$. Это число $T$ называется периодом функции.
- Четность/нечетность. Функция называется четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.
- Ограниченность. Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех значений $x$ выполняется неравенство $f(x) < M$. Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех значений $x$ выполняется неравенство $f(x) > m$.
Построение графиков функцийДля построения графиков функций можно использовать следующие методы:
- По точкам. Этот метод заключается в том, что мы задаем значения аргумента и вычисляем соответствующие значения функции. Затем строим точки с координатами $(x, y)$ и соединяем их линией.
- С помощью преобразований. Этот метод основан на том, что график функции можно получить из графика другой функции с помощью различных преобразований, таких как сдвиг, растяжение, сжатие, отражение.
Пример: построим график функции $y = 2x^2 - 3$.Решение:
- Найдем область определения функции: $D(y) = R$.
- Найдем множество значений функции: $E(y) = [-3; +∞)$.
Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента: | x | 0 | 1 | 2 |
---|
y | -3 | -7 | -11 |
Построим график функции по точкам: | | |
---|
x | y |
0 | -3 |
-1 | -5 |
1 | -7 |
2 | -11 |
Получим параболу, ветви которой направлены вверх, вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.
Вопросы для самоконтроля:
- Что такое функция?
- Что такое область определения функции?
- Что такое множество значений функции?
- Что такое график функции?
- Какие свойства могут иметь графики функций?
- Как построить график функции?