Преобразование и сокращение алгебраических дробей
Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. В этой дроби $P(x)$ называется числителем, а $Q(x)$ – знаменателем.
В алгебре часто приходится работать с дробями, которые содержат переменные. Такие дроби могут быть упрощены или преобразованы различными способами. Одним из основных методов является сокращение дробей.
Сокращение алгебраической дроби — это процесс уменьшения числителя и знаменателя на общий множитель. Это позволяет упростить дробь и сделать её более удобной для работы.
Чтобы сократить дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Затем разделить числитель и знаменатель на этот НОД. Полученная дробь будет иметь меньший числитель и меньший знаменатель, но при этом будет равна исходной дроби.
Пример:
Пусть дана дробь $\frac{(2x+3)(x-1)}{(x+2)(x-3)}$. Чтобы сократить эту дробь, найдём НОД числителя и знаменателя:
Таким образом, НОД равен 1. Теперь разделим числитель и знаменатель на 1:$\frac{(2x+3)}{(x+2)}=\frac{(2x-4+7)}{(x-3+5)}=\frac{2x-4}{x-3}$
Полученная дробь имеет меньший числитель и меньший знаменатель, чем исходная дробь. При этом она равна исходной дроби:$\frac{(2x+3)(x-1)}{(x+2)(x-3)}=\frac{2x-4}{x-3}$
Сокращение дробей может быть полезным в различных задачах. Например, оно может помочь упростить выражения, решить уравнения и неравенства, а также выполнить другие математические операции.
Кроме того, сокращение дробей помогает избежать ошибок при работе с ними. Если дробь не сокращена, то она может содержать лишние множители, которые могут привести к неправильному результату.
Также важно отметить, что сокращение дробей не всегда возможно. Иногда числитель или знаменатель дроби не имеют общих множителей. В этом случае дробь нельзя сократить.
Вопросы для самопроверки:
Примеры задач:
Решение:
Найдём НОД числителя и знаменателя: $x^2−9=(x−3)(x+3)$, $x^3−27=(x−3)(x^2+3x+9)$. Таким образом, НОД равен $x−3$. Разделим числитель и знаменатель на $x−3$:$\frac{x^2-9}{x^3-27}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{x+3}{x^2+3x+9}$
Умножим обе части уравнения на $(x+1)(x-2)$:$(x+1)(x−2)\cdot\frac{3x−5}{x+1}=(x+1)(x−2)\cdot\frac{10x−7}{x−2}$$3x^2−5x−6x+2=10x^2−17x+20x−14$$−x^2+x−12=0$$x^2−x+12=0$D=1−48<0$, корней нет. Ответ: решений нет.
$\frac{a^2+b^2}{a−b}-\frac{ab}{a+b}=\frac{(a−b)(a+b)}{a−b}+\frac{b(a−b)}{a+b}=$$a+b+\frac{−b^2}{a+b}=a+b−b$Подставим значения $a$ и $b$:$2+3−3=2$Ответ: 2.
Эти задачи иллюстрируют различные аспекты сокращения алгебраических дробей и их применения. Они помогают понять, как работает метод сокращения дробей, и научиться его применять.