Тема: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Цель: изучить метод разложения квадратного трёхчлена на линейные множители и научиться применять его для решения различных задач.

Задачи:

• познакомиться с понятием квадратного трёхчлена;
• изучить формулу разложения квадратного трёхчлена на множители;
• научиться раскладывать квадратный трёхчлен на множители.

Квадратный трёхчлен — это алгебраическое выражение вида ax² + bx + c, где a, b и c — коэффициенты, а x — переменная. Квадратным он называется потому, что наивысшая степень переменной равна 2.

Разложение квадратного трёхчлена на множители — это процесс представления квадратного трёхчлена в виде произведения двух линейных множителей. Это может быть полезно при решении уравнений, сокращении дробей и других задачах.

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, нужно найти корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля, то квадратное уравнение имеет два корня. В этом случае квадратный трёхчлен можно разложить на множители следующим образом:

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂),

где x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения.

Пример: разложим на множители квадратный трёхчлен 3x² – 5x + 2. Для этого решим квадратное уравнение 3x² – 5x + 2 = 0:

D = (–5)² – 4 3 2 = 9 > 0,

значит, квадратное уравнение имеет два корня:

x₁ = (5 + √9) / 6 = 2,x₂ = (5 – √9) / 6 ≈ 0,33.

Теперь можем разложить квадратный трёхчлен на множители:

3x² – 5x + 2 = 3(x – 2)(x – 0,33).

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то квадратный трёхчлен имеет один корень. В этом случае его можно представить в виде:

ax² + bx + c = (x – x₀)²,

где x₀ — корень квадратного уравнения.

Пример: представим в виде квадрата двучлена квадратный трёхчлен x² – 8x + 16. Решим квадратное уравнение x² – 8x + 16 = 0:

D = (–8)² – 4 1 16 = 0,

следовательно, квадратное уравнение имеет один корень:

x₀ = 8 / 2 = 4.

Тогда квадратный трёхчлен можно записать так:

x² – 8x + 16 = (x – 4)².

Если же дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, то действительных корней нет, и квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители. Однако можно использовать комплексные числа для нахождения корней уравнения и последующего разложения квадратного трёхчлена.

Важно помнить, что при разложении квадратного трёхчлена на множители необходимо учитывать знак перед коэффициентом a. Если перед a стоит знак «+», то в формуле разложения будет стоять знак «+» перед скобками. Если же перед a стоит знак «–», то перед скобками будет знак «–».

Также стоит отметить, что разложение квадратного трёхчлена на множители может быть полезным при решении различных задач, таких как сокращение дробей, упрощение выражений и нахождение наибольшего или наименьшего значения функции.

Вопросы для закрепления материала:

1. Что такое квадратный трёхчлен?
2. Как разложить квадратный трёхчлен на линейные множители?
3. Какие случаи возможны при разложении квадратного трёхчлена?
4. Приведите примеры разложения квадратных трёхчленов на множители.
5. Где может пригодиться разложение квадратного трёхчлена на множители?

Примеры задач:

1. Разложите на множители квадратные трёхчлены:а) 2x² + 7x + 3;б) x² – 6x + 9;в) 3x² – 10x + 3.
2. Решите уравнение:а) x² + 4x + 5 = 0;б) 2x² – x – 1 = 0.
3. Сократите дробь:а) (x + 3) / (x² – 9);б) (2x – 1) / (4x² + x + 1).

Решение задач:Задача 1:а) Найдём корни квадратного уравнения 2x² + 7x + 3 = 0:D = 7² – 4 2 3 = 49 – 24 = 25 > 0.Значит, квадратное уравнение имеет два корня:x₁ = (–7 + √25) / 4 = –3,x₂ = (–7 – √25) / 4 ≈ –1,25.Тогда разложение квадратного трёхчлена будет выглядеть так:2x² + 7x + 3 = 2(x + 3)(x + 1,25).б) Решим уравнение x² – 6x + 9 = 0:D = (–6)² – 4 1 9 = 0.Следовательно, квадратное уравнение имеет единственный корень:x₀ = 6 / 2 = 3.И тогда квадратный трёхчлен запишется в виде:x² – 6x + 9 = (x – 3)².в) Найдём корни уравнения 3x² – 10x + 3 = 0:D = (–10)² – 4 3 3 = 100 – 42 = 58 > 0.Таким образом, квадратное уравнение имеет два корня:x₁ = (10 + √58) / 6 ≈ 3,17,x₂ = (10 – √58) / 6 ≈ 1,33.Тогда разложение квадратного трёхчлена примет вид:3x² – 10x + 3 = 3(x – 3,17)(x – 1,33).Задача 2:а) Уравнение x² + 4x + 5 = 0 не имеет действительных корней, так как дискриминант D = 16 – 4 5 < 0. Поэтому квадратный трёхчлен не раскладывается на линейные множители над полем действительных чисел.б) Найдём корни квадратного уравнения 2x² – x – 1 = 0:D = (–1)² – 4 2 (–1) = 9 > 0.Значит, уравнение имеет два корня:x₁ = (1 + √9) / 4 = 1,x₂ = (1 – √9) / 4 = –0,25.В итоге получаем разложение:2x² – x – 1 = 2(x – 1)(x + 0,25).Задача 3:а) Сократим дробь (x + 3)/(x² – 9):Разложим числитель и знаменатель на множители:(x + 3) = x + (√9 + 3),(x² – 9) = (x + √9)(x – √9).Тогда получим:(x + 3)/((x + √9)(x – √9)) = (x + (√9 + 3))/((x + √9)(x – √9)).Сократим на общий множитель (x + √9):(x + (√9 + 3))/(x + √9) = x + √9 + 3.Ответ: x + √9 + 3.б) Сократим дробь (2x – 1)/(4x² + x + 1):Представим числитель в виде суммы двух слагаемых:(2x – 1) = (2x + 1) – 2.А знаменатель разложим по формуле квадрата суммы:(4x² + x + 1) = (2x)² + 2 2x * 1 + 1² = (2x + 1)².Получим:(2x + 1 – 2)/(2x + 1)² = –1/(2x + 1)².Ответ: –1/(2x + 1)².