Свойства квадратного корня. Сравнение арифметических квадратных корней

Квадратным корнем из числа a называют число, квадрат которого равен a.

Это определение можно записать так: √a = b, если b² = a.

Например, √9 = 3, так как 3² = 9.

Число a называется подкоренным числом, а выражение √a — арифметическим квадратным корнем.

Арифметический квадратный корень имеет два важных свойства:

• *√a √b = √(ab)** — произведение квадратных корней равно квадратному корню из произведения подкоренных выражений;
• √(a/b) = √a / √b — частное квадратных корней равно частному подкоренных выражений.

Эти свойства используются для упрощения вычислений и преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Кроме того, существует ещё одно важное свойство квадратного корня: если a ≥ 0, то √a ≥ 0. Это означает, что значение квадратного корня всегда неотрицательно.

Теперь рассмотрим сравнение арифметических квадратных корней.

Для сравнения двух квадратных корней необходимо выполнить следующие шаги:

1. Убедиться, что оба подкоренных выражения положительны. Если хотя бы одно из них отрицательно, сравнение невозможно.
2. Сравнить подкоренные выражения. Большее подкоренное выражение соответствует большему квадратному корню.

Пример 1: сравнить √5 и √7.Решение: оба подкоренных числа положительны, поэтому сравнение возможно. Подкоренное число 5 меньше, чем 7, следовательно, √5 < √7.

Пример 2: сравнить √4 и √16.Решение: подкоренные числа равны, поэтому √4 = √16.

Важно помнить, что сравнение квадратных корней не всегда возможно, если подкоренные выражения отрицательны или не являются рациональными числами. В таких случаях необходимо использовать другие методы сравнения.

Также стоит отметить, что при сравнении квадратных корней с одинаковыми подкоренными выражениями результат будет равен. Например, √25 = √25.

Сравнение квадратных корней может быть полезным при решении различных задач, связанных с алгебраическими выражениями. Оно позволяет упростить вычисления и сделать их более эффективными.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое квадратный корень?
2. Какие свойства квадратного корня вы знаете?
3. Как сравнить два квадратных корня?
4. Можно ли сравнивать квадратные корни с отрицательными подкоренными выражениями?
5. Приведите примеры сравнения квадратных корней.

Дополнительные задания:

1. Вычислите √81 и сравните его с √64.
2. Сравните √3 и √5.
3. Решите уравнение √x = 4.