Степень с целым показателем В математике степень — это результат многократного умножения числа на само себя. Степень обозначается числом, которое показывает, сколько раз число умножается само на себя, и называется показателем степени. Определение: степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а: $a^n = \underbrace{a a ... a}_{n}$ Число a называют основанием степени, а число n — показателем степени. Например, $2^3 = 2 2 2 = 8$. Здесь 2 — основание степени, 3 — показатель степени. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а: $a^1 = a$. При этом считают, что любое число в нулевой степени равно единице: $а^0 = 1$. Выражение 0^n не имеет смысла при $n ≠ 0$. Если показатель степени равен нулю, то степень числа равна единице: $a^0 = 1$ (при $a ≠ 0$). Свойства степеней: При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: $a^m a^n = a^{m + n}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$. Чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$. Если в показателе степени стоит отрицательное число, то при чётном показателе степень будет положительной, а при нечётном — отрицательной: $(–a)^n = {\begin{cases} a^n, & \text{если } n \text{ чётно} \ –a^n, & \text{если } n \text{ нечётно} \end{cases}}$. Для любого числа а и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство: $a^m = (a^n)^m$. Примеры: 1. Возведите в степень: $(-5)^2$, $(-7)^3$, $(-6)^4$. Решение: $(-5)^2 = (-5) (-5) = 25$; $(-7)^3 = (-7) (-7) (-7) = -343$; $(-6)^4 = (-6) (-6) (-6) (-6) = 1296$. 2. Представьте в виде степени: $81$, $64$, $125$. Решение: Так как $81 = 9 9$, то $81 = 9^2$; так как $64 = 4 4 4$, то $64 = 4^3$; так как $125 = 5 5 5$, то $125 = 5^3$. 3. Вычислите: $2^5 2^8$, $3^4 : 3^2$. Решение: По свойству степеней $2^5 2^8 = 2^{5 + 8} = 2^{13} = 8192$; по свойству степеней $3^4 : 3^2 = 3^{4 - 2} = 3^2 = 9$. 4. Упростите выражение: $(-3a^2b)^3 (ab)^2$. Решение: Используя свойства степеней, получаем: $(-3a^2b)^3 (ab)^2 = -27a^6b^3 a^2b^2 = -27 a^8b^5$. 5. Найдите значение выражения: $x^9 : x^3$, если $x = -10$. Решение: Подставляя значение $x = -10$, получаем: $(-10)^9 : (-10)^3 = -1000000 : -1000 = 10$. Таким образом, степень с целым показателем — это математическая операция, которая позволяет возводить число в определённую степень. Она широко используется в различных областях математики и физики для упрощения вычислений и решения задач.