Тема: Пересечение окружностей

Введение

В данной главе мы рассмотрим проблему нахождения точек пересечения окружностей. Это важная задача, которая имеет множество практических применений, таких как проектирование механических систем, навигация, робототехника и т.д.

Для решения этой задачи нам потребуется знание основных понятий из геометрии и алгебры, таких как уравнение окружности, координаты точек и система уравнений.

Основная часть

1. Уравнение окружности

Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой центром. Уравнение окружности имеет вид:

(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2,

где (x0, y0) – координаты центра окружности, а R – ее радиус.

2. Пересечение двух окружностей

Пусть даны две окружности с уравнениями:

(x - x1)2 + (y - y1)2 = R12,(x - x2)2 + (y - y2)2 = R22.

Если эти окружности пересекаются, то существуют точки, удовлетворяющие обоим уравнениям. Для нахождения этих точек нужно решить систему уравнений:

{(x - x1)2 + (y - y1)2 = R12,
(x - x2)2 + (y - y2)2 = R22.}

3. Решение системы уравнений

Решение системы уравнений можно найти методом подстановки или методом сложения.

Метод подстановки заключается в следующем:

• Из одного уравнения выразить одну переменную через другую.
• Подставить полученное выражение во второе уравнение.
• Решить полученное уравнение относительно одной переменной.
• Найти значение другой переменной, подставив найденное значение в первое уравнение.

Пример:Дано:(x + 3)2 + y2 = 4,x2 + (y + 2)2 = 9.

Решение:Из первого уравнения выразим y:y = √(4 - (x + 3)2).Подставим полученное выражение во второе уравнение:x2 + √(4 - (x + 3)2) + 22 = 9.Раскроем скобки и упростим уравнение:x2 - 4x + 9 = 0.Решим полученное квадратное уравнение:D = 16 - 36 = -20 < 0, следовательно, уравнение не имеет корней.Ответ: Окружности не пересекаются.

Метод сложения заключается в следующем:

• Умножить одно уравнение на коэффициент так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными.
• Сложить уравнения.
• Решить полученное уравнение.

Пример:Дано:x2 + y2 = 25,x2 - y = 7.

Решение:Умножим первое уравнение на 2:2x2 + 2y2 = 50.Сложим уравнения:3x2 + y2 = 57.Выразим y2:y2 = 57 - 3x2.Подставим это выражение в первое уравнение:x2 + (57 - 3x2) = 25.Решим уравнение:4x2 = 32,x2 = 8.Найдем значение y:y2 = 57 - 3 * 64 = -77 < 0 – не имеет смысла.Ответ: Окружности не пересекаются.

4. Особые случаи

Иногда уравнения окружностей могут иметь вид:(x - a)2 + (y - b)2 = c2,где a, b и c – целые числа. В этом случае решение системы уравнений может быть упрощено.

Например:Дано:(x - 2)2 + (y - 1)2 = 1,x2 + y2 = -3.

Решение:Первое уравнение представляет собой окружность с центром в точке (2, 1) и радиусом 1. Второе уравнение не имеет смысла, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, окружности не пересекаются.

Ответ: Окружности не пересекаются.

5. Применение

Задача о пересечении окружностей имеет множество практических применений. Например, она может использоваться для определения координат точек пересечения двух механических систем или для нахождения координат точек на карте.

Пример:Даны координаты центров двух окружностей и их радиусы. Определить, пересекаются ли окружности и, если да, найти координаты точек пересечения.

Координаты центров: (1, 2), (3, 4).Радиусы: 2, 3.Решение:Запишем уравнения окружностей:(x - 1)2 + (y - 2)2 = 22,(x - 3)2 + (y - 4)2 = 32.Решим систему уравнений методом сложения:{(x - 1)2 + (y - 2)2 = 22,
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 32.}Умножив первое уравнение на -1, получим:{- (x - 1)2 - (y - 2)2 = -22,
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 32.}Сложив уравнения, получим:(5x - 4)2 + (-2y + 6)2 = 10.Выразив y через x, получим:y = (5x + 4)/2.Подставив это выражение во второе уравнение, получим квадратное уравнение относительно x:(25x2 - 9x + 24)/4 + (25x2 + 18x + 16)/4 = 10,50x2 - 21x - 6 = 0.Решив это уравнение, найдем корни:x1 = 3, x2 = -1/5.Подставляя эти значения в выражение для y, найдем координаты точек пересечения:y1 = 2, y2 = 4/5.Ответ: Точки пересечения окружностей имеют координаты (3, 2) и (-1/5, 4/5).

Заключение

Мы рассмотрели задачу о пересечении окружностей, изучили основные понятия и методы решения, а также привели примеры решения задач. Эта задача имеет множество практических приложений и может быть использована в различных областях науки и техники.