Пропорция — это равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорции играют важную роль в математике и геометрии, позволяя решать множество задач и находить взаимосвязи между различными величинами.

Определение пропорции

Пропорция записывается в виде равенства двух отношений:

a : b = c : d

где a и d называются крайними членами пропорции, а b и c — средними.

Для того чтобы пропорция была верной, необходимо, чтобы произведение крайних членов было равно произведению средних:

ad = bc

Пример пропорции:

2 : 4 = 6 : 12

В этой пропорции 2 и 12 — крайние члены, а 4 и 6 — средние. Произведение крайних членов равно 24, а произведение средних — 24. Значит, пропорция верна.

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции гласит: если пропорция верна, то можно поменять местами крайние или средние члены пропорции и получить новую верную пропорцию.

Например:

3 : 5 = 9 : 15

Если поменять местами средние члены, то получится новая пропорция:

3 : 9 = 5 : 15

Применение пропорций в геометрии

Пропорции широко используются в геометрии для решения задач на подобие фигур.

Подобие фигур — это свойство фигур, при котором все углы равны, а стороны пропорциональны.

Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры.

Отношение сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия.

Пример:

Пусть даны два прямоугольника ABCD и A1B1C1D1, у которых AB = 4 см, BC = 3 см, A1B1 = 12 см и B1C1 = 9 см.

AB / A1B1 = BC / B1C1

4 / 12 = 3 / 9

Коэффициент подобия равен 3/4.

Это означает, что стороны первого прямоугольника меньше сторон второго прямоугольника в 3/4 раза.

Используя коэффициент подобия, можно найти размеры других подобных фигур.

Также пропорции используются для решения задач на проценты. Пропорция позволяет найти, сколько процентов составляет одна величина от другой, или найти процентное отношение двух величин.

Примеры:

1. Сколько процентов составляет 10 кг от 50 кг?

Решение:

10 / 50 * 100% = 20%

Ответ: 10 кг составляют 20% от 50 кг.

2. Найти процентное отношение 15 к 25.

Решение:

15 / 25 * 100% = 60%

Ответ: 15 составляет 60% от 25.

Таким образом, пропорции являются важным инструментом в математике и геометрии. Они позволяют решать множество задач, связанных с отношениями между величинами, подобием фигур и процентами.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое пропорция?
• Какое основное свойство пропорции?
• Как пропорции используются в геометрии?
• Какие задачи можно решить с помощью пропорций?

Дополнительные задания:

1. Решите пропорцию: 5 : x = 15 : 30.

2. Найдите коэффициент подобия двух прямоугольников, если стороны одного из них равны 4 и 3, а другого — 12 и 9.

3. Сколько процентов составляют 15 кг от 40 кг?