Степень числа

Определение степени числа

Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a.

В общем виде степень числа записывается так:

$a^n$, где:

• a — основание степени;
• n — показатель степени.

Например, $3^5 = 3 3 3 3 3 = 405$. Здесь число 3 является основанием степени, а число 5 — показателем степени.

Свойства степеней

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: если a и b — положительные числа, m и n — натуральные числа, то справедливо равенство:

$(a^m) * (a^n) = a^{m+n}$.

Пример: $(2^3) (2^2) = 2^{3+2} = 8 4 = 32$.

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями: для любых положительных чисел a и b и натуральных чисел m и n справедливо равенство:

$(a^m)/(a^n)=a^{m-n}$, при условии, что $a ≠ 0$.

Пример: $16/4=16^1/4^1=16-1/4-1=4$.

3. Возведение степени в степень: для любого положительного числа a и любых натуральных чисел m и n верно равенство:

$(a^m)^n = a^{mn}$.

Пример: $(3^2)^3=3^{2*3}=9^3=729$.

4. Степень произведения: для любых чисел a, b и натурального числа n выполняется равенство:

$(ab)^n = (a b)^n = an bn$.

Пример: $(4 6)^2 = 4^2 6^2 = 16 * 36 = 576$.

5. Степень частного: для любых a, b ≠ 0 и натурального n верно равенство:

$(a/b)^n = an / bn**.

Пример: $(15/3)^2=15^2/3^2=225/9=25$.

6. Отрицательная степень: для любого a ≠ 0 и целого числа n справедливо равенство:

$a^{-n} = 1 / a^n$.

Пример: $5^{-2}=1/5^2=1/25=0,04$.

Применение степеней в геометрии

Степени используются в геометрии для описания различных фигур и их свойств. Например, площадь квадрата со стороной a можно записать как $S = a^2$, а объём куба с ребром a — как $V = a^3$. Эти формулы позволяют легко вычислять площади и объёмы геометрических фигур.

Также степени используются для описания расстояний между точками на плоскости или в пространстве. Например, расстояние между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ можно выразить через формулу:

$d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)$.

Здесь степень используется для вычисления расстояния между точками.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое степень числа?
2. Как записывается степень числа в общем виде?
3. Какие свойства степеней вы знаете?
4. Приведите примеры использования степеней в геометрии.
5. Как можно использовать степени для описания расстояний между точками?

Примеры задач

Задача 1. Вычислите значение выражения: $4^3 5^2 / 20^1$.Решение:$4^3 = 64$;$5^2 = 25$;$20^1 = 20$;Подставляем значения в выражение:$64 25 / 20 = 800 / 20 = 40$.Ответ: 40.

Задача 2. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 5 см.Решение: Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:$S = 3 * 5 = 15 (см^2)$.Ответ: 15 квадратных сантиметров.

Задача 3. Вычислите объём куба с длиной ребра 4 см.Решение: Объём куба равен кубу длины его ребра:$V = 4 4 4 = 64 (см^3)$.Ответ: 64 кубических сантиметра.

Эти задачи иллюстрируют применение степеней в различных ситуациях. Они помогают понять, как использовать степени для решения практических задач.