Свойства степеней
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a. Число а называют основанием степени, а число n — показателем степени.
Запись aⁿ обозначает степень, где а — основание степени, n — показатель степени.
Например:
В математике принято следующее правило: любое число в нулевой степени равно единице.
Это значит, что a⁰ = 1, где a ≠ 0.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. Это свойство называется правилом сложения степеней.
Пример:
$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.
Если разделить степени с одинаковыми основаниями, то основание останется прежним, а показатели степеней вычитаются. Это правило деления степеней.
Пример:
$\frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8$.
Возведение степени в степень. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается неизменным. Это свойство возведения степени в степень.
Пример: $(2^3)^5 = 2^{15} = 32 768$.
Также существует правило возведения в степень произведения. Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.
Пример: $ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.
И наоборот, если в произведении не более двух множителей и один из них представлен в виде степени некоторого числа, то можно возвести в степень только этот множитель.
Пример: (-3 a²)⁵ = (-3)⁵ (a²)⁵.
Существует ещё одно свойство степеней, которое называется степенью частного. Оно гласит, что при возведении в степень частного, можно возвести в эту же степень и делимое, и делитель, и первый результат разделить на второй.
Пример: (5 : 3)³ = (5³ : 3³).
Эти свойства степеней используются для упрощения вычислений и решения задач. Они помогают сократить время выполнения заданий и повысить точность результатов.
Вопросы для самоконтроля:
Примеры задач: