Свойства степеней

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен числу a. Число а называют основанием степени, а число n — показателем степени.

Запись aⁿ обозначает степень, где а — основание степени, n — показатель степени.

Например:

• 2³ = 2 2 2 = 8;
• *3² = 3 3 = 9**;
• *(–5)⁴ = (–5) (–5) (–5) (–5) = 625**.

В математике принято следующее правило: любое число в нулевой степени равно единице.

Это значит, что a⁰ = 1, где a ≠ 0.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним. Это свойство называется правилом сложения степеней.

Пример:

$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.

Если разделить степени с одинаковыми основаниями, то основание останется прежним, а показатели степеней вычитаются. Это правило деления степеней.

Пример:

$\frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3 = 8$.

Возведение степени в степень. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается неизменным. Это свойство возведения степени в степень.

Пример: $(2^3)^5 = 2^{15} = 32 768$.

Также существует правило возведения в степень произведения. Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Пример: $ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

И наоборот, если в произведении не более двух множителей и один из них представлен в виде степени некоторого числа, то можно возвести в степень только этот множитель.

Пример: (-3 a²)⁵ = (-3)⁵ (a²)⁵.

Существует ещё одно свойство степеней, которое называется степенью частного. Оно гласит, что при возведении в степень частного, можно возвести в эту же степень и делимое, и делитель, и первый результат разделить на второй.

Пример: (5 : 3)³ = (5³ : 3³).

Эти свойства степеней используются для упрощения вычислений и решения задач. Они помогают сократить время выполнения заданий и повысить точность результатов.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое степень числа?
2. Как записывается степень числа?
3. Какие правила применяются к степеням?
4. В чём заключается правило сложения степеней?
5. Как выполняется деление степеней?
6. Какое свойство используется при возведении степени в степень?
7. Как возводится в степень произведение?
8. Можно ли возводить в степень частное?

Примеры задач:

1. Вычислите: *2² 5².Решение:По правилу умножения степеней получаем: 2² 5² = 4 25 = 100.Ответ: 100**.
2. Найдите значение выражения: 4³ 4⁷.Решение:Используя правило умножения степеней, получаем: 4³ 4⁷ = 4^(3 + 7) = 4¹⁰.Так как 4¹⁰ = 2⁶ 10⁶, то 4³ 4⁷ = (2²)³ (10²)³ = 4 100 = 400.Ответ: 400.
3. Упростите выражение: x² x⁸ / x⁴.Решение:Применяя правило деления степеней, получим: x² x⁸ / x⁴ = x^(2 + 8 – 4) = x¹⁰ / x⁴ = x⁶.Ответ: x⁶.