Задачи на совместную работу

В задачах на совместную работу часто моделируются такие ситуации, когда два или более участников выполняют некоторую работу. Для решения задач этого типа необходимо понимать, как распределяются обязанности между участниками, как определяются производительности каждого из них и как вычисляется общее время выполнения работы.

Основные понятия и формулы

• Работа — это объём задачи или количество усилий, затраченных на выполнение задачи.
  • Производительность — это количество работы, выполненной за единицу времени.
  • Время — это период, в течение которого выполняется работа.

Для решения задач на совместную работу применяются следующие формулы:

1. *A = p t, где A — работа, p — производительность, t** — время.
2. p = A / t, где p — производительность.
3. t = A / p, где t — время выполнения работы.
4. p1 + p2 = 1 или p1 t1 = p2 t2, где p1 и p2 — производительности участников, t1 и t2 — время, затраченное каждым из участников.

Эти формулы помогают определить общее количество работы, производительность каждого участника и время, необходимое для выполнения задачи.

Также при решении задач на совместную работу могут использоваться дополнительные данные, такие как:

• общая производительность всех участников;
• время, за которое каждый участник может выполнить всю работу самостоятельно;
• изменение производительности одного из участников в процессе выполнения работы и т. д.

Рассмотрим несколько примеров задач на совместную работу.

Пример 1. Два каменщика могут выполнить работу за 20 дней. Первый каменщик может выполнить эту же работу за 30 дней. За сколько дней может выполнить эту работу второй каменщик?

Решение:

Пусть p1 — производительность первого каменщика, p2 — второго, t1 — время работы первого, t2 — второго. Тогда:

p1 = 1 / 30;p2 = 1 / t2;p1 + p2 = 1.

Решая систему уравнений, получаем: t2 = 90 дней.

Ответ: Второй каменщик может выполнить работу за 90 дней.

Пример 2. Две бригады должны отремонтировать 60 км дороги. Одна из бригад может выполнить этот объём работы за 3 часа, а другая — за 6 часов. За какое время эти две бригады могут выполнить весь объём работ, если будут работать совместно?

Решение:

Найдём производительность каждой бригады. Пусть p1 — производительность первой бригады, p2 — второй. Тогда:

p1 = 60 / 3 = 20 (км/ч);p2 = 60 / 6 = 10 (км/ч).

Общая производительность бригад: p = p1 + p2 = 20 + 10 = 30 (км/ч).

Время, за которое две бригады выполнят весь объём работы: t = 60 / p = 60 : 30 = 2 (ч).

Ответ: Две бригады смогут отремонтировать дорогу за 2 часа совместной работы.

Важно отметить, что задачи на совместную работу являются одними из самых сложных в курсе математики. Они требуют внимательности и аккуратности при вычислениях, а также умения анализировать и интерпретировать результаты.

Таким образом, задачи на совместную работу представляют собой важный инструмент для развития навыков математического мышления. Они помогают понять, как распределяется работа между участниками, и как можно оптимизировать процесс выполнения задачи. Решение таких задач требует внимательного анализа условий и применения соответствующих формул.

При решении задач на совместную работу важно учитывать следующие моменты:

• Необходимо внимательно читать условие задачи и определять, какие данные известны, а какие нет.
• Нужно правильно выбрать формулу для решения задачи.
• Следует аккуратно выполнять вычисления и проверять полученный результат.
• Важно уметь интерпретировать полученный результат и делать выводы.

Задачи на совместную работу — это отличный способ развить навыки математического анализа и логического мышления. Они могут быть использованы для подготовки к экзаменам и олимпиадам, а также для развития интереса к математике.

Вопросы для самоконтроля:

• Что такое работа, производительность и время в задачах на совместную работу?
• Какие формулы используются для решения задач на совместную работу?
• Как определить общую производительность участников?
• Как найти время, за которое участники выполнят всю работу?

Дополнительные материалы:

• Для более глубокого понимания задач на совместную работу рекомендуется изучить следующие темы:
  • Понятие производительности и времени в задачах на работу.
  • Формулы для решения задач на работу.
  • Примеры решения задач на совместную работу.
• Также полезно выполнить упражнения для закрепления полученных знаний.

Примеры упражнений:

• Решите задачу: две бригады должны покрасить забор длиной 100 метров. Одна из бригад может покрасить этот забор за 5 часов, а другая — за 8 часов. За какое время две бригады смогут покрасить забор, если будут работать вместе?
• Решите задачу: два тракториста могут вспахать поле за 12 часов. Один из трактористов может вспахать это поле за 24 часа. За сколько часов может вспахать поле второй тракторист?