Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения — это математические выражения, которые помогают упростить и ускорить процесс выполнения математических операций. Они представляют собой комбинации степеней с одинаковыми основаниями или суммами. В этой статье мы рассмотрим основные формулы сокращённого умножения и их применение в математике и информатике.

1. Квадрат суммы и разности двух выражений

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение этих выражений:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Например, $(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2$.

Также можно записать формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Эти формулы используются для упрощения вычислений при возведении в квадрат суммы или разности двух чисел или выражений.

Пример:

Упростите выражение $((x + y)^2 - (x - y)^2)$.

Решение:

Используя формулы квадрата суммы и квадрата разности, получаем:

$((x + y)^2 - (x - y)^2) = ((x + y) + (x - y))((x + y) - (x - y)) = 4xy$.

Ответ: $4xy$.

2. Разность квадратов двух выражений

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Эта формула используется для разложения на множители выражения вида $a^2 - b^2$, где $a$ и $b$ — числа или выражения.

Пример:

Разложите на множители выражение $(x^2 - y^2)(x + y)$.

Решение:

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(x^2 - y^2)(x + y) = (x - y)(x + y)(x + y)$,

где $(x - y)$ — общий множитель.

Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

3. Куб суммы и куб разности двух выражений

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения плюс куб второго выражения:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

Аналогично, куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения минус куб второго выражения:

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$$

Применение этих формул позволяет упростить вычисления при возведении суммы или разности в третью степень.

Пример:

Вычислите значение выражения $(2x + 3y)^3$.

Решение:

Подставляя значения $a = 2x$ и $b = 3y$ в формулу куба суммы, получаем:

$(2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3 \cdot 2x(3y)^2 + (3y)^3$

Выполняя вычисления, получаем ответ: $4x^3 + 42x^2y + 54xy^2 + 9y^3$.

4. Сумма и разность кубов двух выражений

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Соответственно, разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$

Эти формулы полезны при разложении выражений на множители.

Пример:

Разложите на множители выражение $x^6 - y^6$.

Решение:

Применив формулу разности кубов, получаем:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$.

Ответ: $(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$.

В информатике формулы сокращённого умножения используются при оптимизации алгоритмов, а также в задачах, связанных с анализом и обработкой данных. Например, при работе с большими объёмами информации может потребоваться быстрое вычисление сумм и произведений различных степеней чисел. В таких случаях использование формул сокращённого умножения позволяет значительно ускорить процесс вычислений.

Таким образом, формулы сокращённого умножения являются важным инструментом в математике и информатике, который помогает упростить и ускорить выполнение математических операций. Знание этих формул и умение их применять является необходимым навыком для успешного решения задач и разработки эффективных алгоритмов.