Уравнения — это математические выражения, которые содержат неизвестное значение (переменную), обозначаемое обычно буквой. Решить уравнение означает найти все значения переменной, при которых выражение становится верным равенством. Основные понятия и определения Переменная — неизвестная величина, которая обозначается буквой. Корень уравнения — значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство. Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же корни или не имеющие корней. Уравнение может содержать одну или несколько переменных. В зависимости от количества переменных уравнения делятся на: Линейные уравнения — уравнения вида $ax + b = 0$, где $a$ и $b$ — числа. Квадратные уравнения — уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$, $b$ и $c$ — числа, причём $a \neq 0$. Кубические уравнения — уравнения третьей степени вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — числа. Для решения уравнений используются различные методы, такие как: 1. Метод разложения на множители: Если уравнение можно разложить на множители, то каждый множитель приравнивается к нулю. Решаются полученные уравнения. Полученные корни проверяются подстановкой в исходное уравнение. Пример: решить уравнение $x(x - 3) = 5$. Решение: $x(x-3) = 5$ $x^2 - 3x = 5$ $x^2 - 3x - 5 = 0$ $(x - 5)(x + 1) = 0$ Получаем два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Проверяем корни: $-1(-1 - 3) \ne 5$, значит, корень $x_1 = -1$ не подходит. $5(5 - 3) = 5 \cdot 2 = 10 = 5$, следовательно, корень $x_2 = 5$ подходит. Ответ: $5$. 2. Метод замены переменной: Вводится новая переменная, которая упрощает уравнение. Полученное уравнение решается относительно новой переменной. Найденное значение новой переменной подставляется в первоначальное уравнение для нахождения корня. Пример: решить уравнение $(x^2 - x - 6)(x^2 + x - 4) = -24$. Решение: Введём новую переменную $t = x^2 - x$. Тогда уравнение примет вид: $(t - 6)(t + 4) = -24$ Раскроем скобки: $t^2 + 4t - 6t - 24 = -24$ Приведём подобные слагаемые: $t^2 - 2t = 0$ Решим полученное квадратное уравнение: $t(t - 2) = 0$ $t_1 = 0$ или $t_2 = 2$ Вернёмся к исходной переменной: Если $t = 0$, то $x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0$. Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Если $t = 2$, то $x^2 - x = 2 \Leftrightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Решая квадратное уравнение, находим корни $x_3 = -1$ и $x_4 = 2$. Проверяем найденные корни: Подставляя $x_1 = 0$ в исходное уравнение, получаем: $(0^2 - 0 - 6)(0^2 + 0 - 4) = (-6)(-4) = 24 \ne -24$, значит, этот корень не подходит. Аналогично проверяем остальные корни. Ответ: корней нет. 3. Графический метод: Строится график функции, заданной левой частью уравнения. Определяются точки пересечения графика с осью абсцисс. Эти точки являются корнями уравнения. Этот метод применим только для уравнений, левая часть которых представляет собой функцию, график которой можно построить.