Найдите область определения функции: f(x)=sqrt((x^(2)-6x-16)/(x^(2)-12x+11))+(2)/(root(3)(x^(2)-49))

Запишите ответ в виде промежутка/объединения промежутков.

Алгебра 10 класс Область определения функции Новый

Для нахождения области определения функции f(x) = sqrt((x^(2)-6x-16)/(x^(2)-12x+11)) + (2)/(root(3)(x^(2)-49)), необходимо учитывать условия для каждого слагаемого функции.

1. Условия для первого слагаемого: sqrt((x^(2)-6x-16)/(x^(2)-12x+11))

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (x^(2)-6x-16)/(x^(2)-12x+11) ≥ 0.
• Знаменатель не должен равняться нулю: x^(2)-12x+11 ≠ 0.

Решим первое неравенство:

Решим уравнение x^(2)-6x-16 = 0:

• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*1*(-16) = 36 + 64 = 100.
• Корни уравнения: x1 = (6 + sqrt(100))/2 = 8, x2 = (6 - sqrt(100))/2 = -2.

Теперь определим интервалы, в которых дробь (x^(2)-6x-16)/(x^(2)-12x+11) положительна или равна нулю. Мы имеем корни -2 и 8, а также нужно найти корни знаменателя:

Решим уравнение x^(2)-12x+11 = 0:

• Находим дискриминант: D = (-12)^2 - 4*1*11 = 144 - 44 = 100.
• Корни уравнения: x1 = (12 + sqrt(100))/2 = 11, x2 = (12 - sqrt(100))/2 = 1.

Теперь у нас есть корни -2, 1, 8 и 11. Рассмотрим интервалы:

• (-∞, -2)
• (-2, 1)
• (1, 8)
• (8, 11)
• (11, +∞)

Проверим знаки на этих интервалах:

• Для x < -2: (положительное)/(положительное) = положительно.
• Для -2 < x < 1: (отрицательное)/(положительное) = отрицательно.
• Для 1 < x < 8: (положительное)/(отрицательное) = отрицательно.
• Для 8 < x < 11: (положительное)/(положительное) = положительно.
• Для x > 11: (положительное)/(положительное) = положительно.

Таким образом, первое слагаемое определено на интервалах: (-∞, -2] и [8, 11).

2. Условия для второго слагаемого: (2)/(root(3)(x^(2)-49))

• Знаменатель не должен равняться нулю: x^(2)-49 ≠ 0.

Решим уравнение x^(2)-49 = 0:

• Корни: x1 = 7, x2 = -7.

Таким образом, второе слагаемое определено для всех x, кроме -7 и 7.

Объединяем условия:

• Для первого слагаемого: (-∞, -2] и [8, 11).
• Для второго слагаемого: x ≠ -7, x ≠ 7.

Теперь объединяем условия:

• Область определения: (-∞, -2] ∪ (8, 11).

Таким образом, область определения функции f(x) будет: (-∞, -2] ∪ (8, 11).